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「A(1,3),B(-3,0),C(13/4,0)を頂点とする△ABCの内心Iの座標を求めよ。」という問題で、

「AB、BC、CAの方程式はそれぞれ
3x-4y+9=0
y=0
4x+3y-13=0である。内心Iの座標を(X,Y)とおくと、Iとこの3直線との距離は等しいから、
|3X-4Y+9|/5=|Y|=|4X+3Y-13|/5
∴|3X-4Y+9|=5|Y|かつ
 5|Y|=|4X+3Y-13|
である。」
まではわかります。

しかし、ここからの解答
「Iは△ABCの内部にあることから、
3X-4Y+9>0・・・※
Y>0
4X+3Y-13<0・・・※」
の※の部分がわかりません。
解説よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

>「Iは△ABCの内部にあることから、



この条件を確認しないと、内心だけではなく、|3X-4Y+9|/5=|Y|=|4X+3Y-13|/5からは、“傍心”も含んでしまうから。
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△ABCをXY座標面上に描い下さい。


三角形の内部の点、たとえば P(1,1)の座標を
距離の式の絶対値の中の式に入れれば
> 3X-4Y+9>0・・・※
> Y>0
> 4X+3Y-13<0・・・※」
であることが分かります。

点Pではなく三角形の外の点の(-2,2)や(0,-1)や(2,2)を同様に距離の式の
絶対値の中の式に代入して正負を調べてみてください。

絶対値の中の式の符号と△ABCの内部の点の関係が分かるかと思います。
各辺AB,BC,CDの直線の境界を越えると式の符号が変わることを覚えておいて下さい。

絶対値の中の式の符号が分かれば、絶対値が外せますね。
> |3X-4Y+9|/5=|Y|=|4X+3Y-13|/5
は(X,Y)が内心(△ABCの内部の点)であれば、絶対値が次のように外せますね。
(3X-4Y+9)/5=Y=-(4X+3Y-13)/5
「図形と方程式・内心の問題」の回答画像2
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※印の不等式をそれぞれ y> または y< の形に書き直せば見えてくると思います。


IはΔABCの"内部"にあることを表すためです。
その前の方程式が絶対値の式となっており、そのままでは答えが複数個出てくることになります。
(連立を満たすものは、1つに絞られるかと思いますが)
複数個の解から、唯一である内心を絞り込むための条件です。
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