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論理学の授業(初学者向け)で課題が出されたので考えていたのですが、直感的には当たり前すぎる命題のため逆に行き詰ってしまいました。多分物凄く簡単だろうとは思うんですが…

│-(P→P)→P

を証明せよという問題で、"│-"は本当は「T」を左に90度倒したような記号です。また、「P→P」はトートロジーですよね?
対偶をとって考えようとしたんですが、「トートロジーの否定」は「常に偽」でいいのか?と悩んで止まってしまいました。
そもそも"│-"の記号が、どうやら「証明可能である」(「定理である」?)を表すらしいという事は判ったんですが、「証明可能であるという事を証明する」とは結果としてどういう答えになればいいのか、また解答文としてどう記述すればいいのかが判りません。

基本的すぎる質問で恥ずかしいですが、教えていただけたら嬉しいです。

A 回答 (3件)

その宿題の答えは、例えば、『


所与の命題は、P が偽のときに真でない。
すなわち、恒真ではない。
よって、「述語論理の妥当性」により、
証明可能でない。』とか。

その内容は、平たく言えば No.2。
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この回答へのお礼

直観的には当たり前すぎて腑に落ちなかったので対偶をとたり背理法でやってみましたが、同じ結論になったので、教えてくださったような書き方で解答して提出してきました。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/07/15 00:14

反例が挙げられたということは、


命題の否定が証明されたということです。

証明可能は、真よりも強い概念です。
証明可能であるためには、少なくとも
真である必要があり、
否定が証明可能な命題は、
証明可能ではありえません。

この回答への補足

>否定が証明可能な命題は、証明可能ではありえません。
つまりこの│-(P→P)→Pという命題は証明可能ではない、ということでしょうか?
直観的には当たり前に真だと思えるのですが…(命題論理の真偽は必ずしも直観的に思う真偽とは一致しない、とは授業でも言われましたが)

となると、「│-(P→P)→P を証明せよ」という問題に対して「…以上より証明可能ではない」という答えになる??
「数学者の研究」ならともかく「たかが課題」なので、戸惑ってしまいます。物分りが悪くて申し訳ないです。

補足日時:2009/07/12 15:40
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(P→P)→P は、恒真じゃありませんよ。


P が偽のとき、その式の値は、どうなりますか?

この回答への補足

いえ、(P→P)→Pがトートロジーじゃないのは、行き詰ってしまったので判ってるんです。
でも「P→P」は、「真→真」でも「偽→偽」でも真なのでトートロジーですよね?

>Pが偽のとき
これは「(P→P)は恒真→Pは偽」だから偽になるんですよね?
結局、質問文でも書きましたが、どういう結論が出れば「証明可能だと証明できた」ことになるのかが判らないんです…

補足日時:2009/07/11 11:57
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