f^(-1)(f(P))＝Pを示したい

---
f:A→Bが全射ならば、Aの部分集合Pに対して、f^(-1)(f(P))＝P
---
を示すために
f^(-1)(f(P))⊂P(…#)
と
f^(-1)(f(P))⊃P(…*)
を示したいのですが、
*は示せて#は示せませんf^_^;

∀b∈f^(-1)(f(P))に対して、
f(b)∈f(P)であるので、これと単射性からb∈Pを導きたいのですが、方針が間違っているためか上手く行きません…。
助言願います！

No.3 ベストアンサー 回答者： sinisorsa 回答日時： 2009/07/21 22:29

fが単射だけでは、写像ｆ^(-1)は定義できません。

なぜなら、全射性がないと、任意のｂ∈Ｂについて、
ｆ^(-1)(b)がＡに存在しません。これでは、写像の定義に
矛盾します。
ｆが全単射のときに限って、逆写像が定義できるのです。

No.4 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/07/21 22:54

S = { f(x) | x∈P }

R = { x | f(x)∈S }
と置くと、
R = P
ということでしょうか？

ほぼ自明かと思いますが…

x∈R　⇔　∃y∈S, f(x) = y
　　　⇔　∃z∈P, y = f(z) ∧ f(x) = y
f の単射性より z = x になりますから、
x∈R　⇔　∃z∈P, z = x
　　　⇔　x∈P
です。

No.2 回答者： sinisorsa 回答日時： 2009/07/21 21:15

逆写像が使われているということは、fは全単射ということですね。

問題は、「f:A→Bが全単射ならば、Aの部分集合Pに対して、
f^(-1)(f(P))＝P」ですね。
#の方
∀ａ∈f^(-1)(f(P))に対して、
あるb∈f(P)が存在して、f^(-1)(b)=ａである。
すなわち、
f(ａ)∈f(P)である。ａがPの要素でないとすると、
f(ａ)∈f(P)={f(x)|x∈P}に矛盾する。
従って、f^(-1)(f(P))⊂P

この回答への補足

すみません、fは単射です。

補足日時：2009/07/21 21:34

この回答へのお礼

>あるb∈f(P)が存在して、f^(-1)(b)=ａである。
f^(-1)(元)は定義されない場合はどのようにするのでしょうか

お礼日時：2009/07/22 09:10

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/07/21 18:14

文章中「全射」と「単射」が両方出ているのでどちらか分かりません.

f は全射でしょうか単射でしょうか, それともその他の何かなのでしょうか?

この回答への補足

すみません、fは単射です。

補足日時：2009/07/21 21:34