連立微分方程式に関して

dx/dt=-x+z dy/dt=-2x+y+z dz/dt=x-y+2z
という問題で
A-sI=-1-s 0 1
-2 1-s 1
1 -1 2-s
|A-sI|=-(1-s*2)(2-s)で固有値が１　－１　２
なのはわかったのですが、その後の固有ベクトルを求める際につまりました
s=1の時
　　　-2 0 1 u 0　　　-2u+w=0
-2 0 1 ・ v　= 0 →　u-v+w=0
1 -1 1 w 0

となり３変数だけども２式しかなく求めれません。どうすればいいんでしょうか。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/07/22 20:56

#2です。

補足です。

固有値s=1に対する固有列ベクトルはA#2で
[1 3 2]^t　が求まっていますが、

[参考までに連立微分方程式の固有行列を使って解く方法は以下の通り]

同様にしてs=-1,2に対する固有列ベクトル[u2],[u3]を求めると
[1 1 0]^t,[1,1,3]^tが出てきます。
従って固有行列は
[[u1][u2][u3]]=
[1 1 1]
[3 1 1]
[2 0 3]
従って、連立微分方程式の一般解は
[x,y,z]^t=
[1 1 1][C1e^t ]
[3 1 1][C2e^(-t)]
[2 0 3][C3e^(2t)]
=
[ C1e^t+C2e^(-t)+ C3e^(2t)]
[3C1e^t+C2e^(-t)+ C3e^(2t)]
[2C1e^t　　　　 +3C3e^(2t)]
となるかと思います。
C1,C2,C3は積分定数（初期値が与えられれば決まる定数）です。

自分でフォローして確認してみてください。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/07/22 01:57

> -2u+w=0

> u-v+w=0
w=2c1とおけば
u=c1,v=3c1
[u v w]^t=c1*[1 3 2]^t

ただし、[ ]^t　は転置（行と列の交換）を表します。
c1はゼロでない任意の定数（自由に定めてよい定数）です。
たとえばc1=1とすれば、固有値1の時の固有ベクトルは
[1 3 2]^t
となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2009/07/22 08:15

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/07/21 23:53

固有ベクトルには (少なくとも) 定数倍の自由度があります. つまり, 「3変数に対して 3本の式がある」ことはありえません.

もともと x, y, z を加える「割合」がわかれば十分なので, u, v, w の比を求めてください.

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2009/07/22 08:15