ラグランジュ乗数法～極大化の２階の条件

制約条件付き最適化問題です。
maximize・・・f(x1,x2)=x1^2x2・・・エックスワンの２乗エックス２
subject to・・・g(x1,x2)=2x1^2＋x2^2=3・・・２エックスワンの２乗プラスエックスの２乗イコール３

(1)極大化の１階の条件より最適なx1,x2の値を求めなさい
(2)極大化の２階の条件が満たされているかどうか確かめなさい

これについてなんですが、
ラグランジュ関数を、
Ｚ＝x1^2x2＋λ(3-2x1^2-x2^2)とおきますよね?

これを
Ｚλ＝０・・・Ｚx1＝０・・・Ｚx2＝０としたいのですが、
λ＝、x1＝、x2＝、の解が出せずに困っています。
この解のx1,x2の値が１階の条件の最適だということでいいのでしょうか？

あと(2)はどうすればいいのでしょうか？
縁付ヘシアンを使うのでしょうか・・・？それでもきれいな数字にならなくて困っております。ご教授おねがいします。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2009/07/23 05:13

> λ＝、x1＝、x2＝、の解が出せずに困っています。

　変だなあ。迷いようのない一本道。偏微分を計算するのもメチャ簡単だし、その後もまるきり簡単だけどなあ。
　という訳で、どうお困りなのか、やったとこまで書いてみて下さいな。

この回答への補足

ありがとうございます。
解は(x1,x2,λ)＝(1,1,1/2)と(-1,-1,-1/2)
となりました。
これを代入しまして、
(x1,x2)=(1,1)は停留値２
(-1,-1)は０をとるという答えでいいのでしょうか？

そして２問目なんですが、
縁付ヘシアンを使いまして、

|H|=|0 4x1 2x2 |
|4x1 2x2-4λ 2x1 |
|2x2 2x1 -2λ |
とおきまして、
これを計算し、32x1^2-8x2^3＋16x2^2λ＋32x1^2λ
とし、２乗はx1=＋－1であるので、見やすいように、２乗をけして、
３乗も１乗にしました。x2=x1であるので、Ｘと書き換えて

すると、｜Ｈ｜＝24Ｘ＋４８λとなりまして、

｜Ｈ｜＞０のとき２階の条件より極大
｜Ｈ｜＜０のとき極小なので

(ｘ１,ｘ２,λ)＝(1,1,1/2のときは)停留値２が極大値を
(-1,-1,-1/2)のときは極小値をとるという答えでいいのでしょうか？


読みにくく、わかりにくい伝え方で申し訳ありません。

補足日時：2009/07/23 22:03