正多面体の頂点の座標

二次元の正多角形の頂点の座標は、複素平面を考えたときに 1 の n 乗根が単位円上の頂点として求まるわけですが、それと同じようなやり方で三次元の正多面体の頂点の (単位球上の) 座標を求める方法というのはあるでしょうか？
同じようなやり方でというか、比較的単純にパラメータ化された数式で表すことができるのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： ordinal 回答日時： 2009/07/30 15:25

wd0 さんという数学者の方のブログ経由です。

http://d.hatena.ne.jp/wd0/20090728

良い論文があるそうです。

この回答への補足

uniform polyhedron (統一多面体？) というのを定義して、77 種類の多面体をそれぞれ異なる Wythoff 記号という定数の組を以て表すようです。単一の式には収まらないかもしれませんが、単一のアルゴリズムで全てを表そうと、力技でくっつけた感じでしょうか。
まださわりしか読んでおりません。なかなか和訳が。。。w
章建ては次のとおり。
1. Introduction
2. A Beief Review of Wythoff's Kaleidoscopic Constructions and Symbols
3. The Vertex Figure and Vertex Cycle of a Uniform Polyhedron
4. Enumerative Quantities
5. A Vertex of a Non-Snub Uniform Polyhedron
6. A Vertex of the Snub Uniform Polyhedron | p q r
7. A Vertex of the Sole Uniform Polyhedron | p q r s
8. Metrical Quantities of the Orthoschemes
9. Expressions for φ in Terms of the Wythoff Elements
10. Duals of Uniform Polyhedra
11. Some Simplified Formulas Unique to Regular Polyhedra
12. Relative Facial Twists and Edge Lengths of the Snub Polyhedron
13. Relative Facial Twists for Any Snub Polyhedron | p q r
14. The Infinite Families of Uniform Prisms and Antiprisms
Appendix A. Essential Equations and Angles for Uniform Snub Polyhedra | p q r
Appendix B. The 77 Wythoff Symbols and Corresponding Vertex Cycle Symbols
附録に具体的な Wythoff 記号を構成する数値が書かれています。

補足日時：2009/07/31 10:22

この回答へのお礼

ありがとうございます。
http://www.springerlink.com/content/me48wm7823jh …π=2
ここで求める感じになるでしょうか ($34 か。。。)。
まずは読んでみようと思います。

お礼日時：2009/07/30 15:57

No.3 回答者： stead2009 回答日時： 2009/07/24 19:33

そうですね、２次元の場合は偏角の整数倍がたまたまzの整数乗と対応しているため上手くいきました。

が立体の場合は全く勝手が違います（頂点同士の間の角も立体的に色々なことになってますし…）
そもそも方程式の解と三次元の点を対応させるのが難しいってことですかね。（考えてみるのは面白いかもしれません）

この回答へのお礼

うーむ。色々探しているのですが、なかなかそのようなアプローチをしているのが出てこないです。
もう少し探すなり自力で考えてみることにします。

お礼日時：2009/07/25 00:34

No.2 回答者： stead2009 回答日時： 2009/07/24 17:46

２次元の場合は複素数の積で偏角は和になるという性質の為上手くいきます。

しかし、三次元の場合、同様なものを考えようにも演算によって群にならないですから（例えばX軸まわりに回転させてさらにY軸まわりに回転させたもの、と、回転の順番を逆にしたものは一致しません）そのまま一般化というわけにはいかないとおもいます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど。演算操作が群を為さないときには一般式化しづらい、ということでしょうか。
一般式化できない、というのは、同等な演算操作で頂点を求めてゆくことはできないということに等しいでしょうか。

お礼日時：2009/07/24 18:50

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/07/24 17:14

(3次元の) 正多面体は 5種類しかありませんから, 全部列挙するのが最も簡単だと思います.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
はい。列挙する、それぞれの多面体ごとに固有なやり方で頂点を求めて行く、というのは、よく web にも落ちており、実際にそれらを活用して値を求めることはできております。
知りたいのは、それらが一般化された方式で求めることができるのかどうかという点になります。

お礼日時：2009/07/24 18:55