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明日試験なのですが、勉強不足で全然わかりません・・・・

・2項分布B(n,p)の確率母関数を計算せよ

・幾何分布Ge(p)の確率母関数を計算せよ

・X1,X2....Xnを互いに独立でベルヌーイ分布に従うn個の確率変数とするとき、Sn=X1+X2+...+Xnの分布が2項分布となることを示せ
またSn/nの平均値と分散を求めよ

・指数分布Exp(θ)のモーメント母関数、平均値(期待値)、分散を計算せよ

・2回のサイコロ投げにおいて、Xを最初の目、Yを2回目の目とするとき、Z=X+Y,W=X-Yとおく
(1)ZとWの平均値を求めよ(2)ZとWの分散をもとめよ(c)ZとWの共分散を
求めよ

・X1,X2....Xnを互いに独立で同一の分布に従う確率変数とする。
E(Xi)=μ、V(Xi)=σ^2、i=1,....,nとしX1,X2....Xnの標本平均をZ=1/n(X1,X2....Xn)とおく。
E(Z)とV(Z)を計算せよ


わかる方教えていただけたら嬉しいです!!!!
よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

取り敢えず簡単そうなのだけ・・・



・2項分布B(n,p)の確率母関数を計算
母関数をP(s)とすると
P(s)=Σ[k=0,n]B(n,p)s^kを計算すればよい。
二項分布B(k,p)=nCk・p^k・q^(n-k)だから
P(s)=Σ[k=0,n]nCk・p^k・q^(n-k)・s^kを計算

・幾何分布Ge(p)の確率母関数を計算
幾何分布Ge(p)=pq^(k-1)だから
P(s)=Σ[k=0,n]p・q^(k-1)・s^kを計算

・指数分布Exp(θ)(・・・?)のモーメント母関数、平均値(期待値)、分散を計算
モーメント母関数をφ(θ),確率密度関数をf(x)とすると
φ(θ)=∫[-∞,∞]exp(θx)f(x)dx (確率変数Xが連続量の場合)だから
φ(θ)=E[exp(θx)]=∫[0,∞]exp(θx)・λexp(-λx)dx を計算
平均値E[x]=∫[0,∞]x・λexp(-λx)dxを計算
分散V[x]=E[(x-μ)^2]=∫[0,∞](x-μ)^2・λexp(-λx)dxを計算
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました!!!
助かりました(^^)

お礼日時:2009/08/06 21:51

「明日」が「物理明日」なのか「論理明日」なのかわからないので間に合っているかどうか知りませんが, #1 で出てない部分に遠めのヒント:


・「ベルヌーイ分布」とは「確率 p で 1, 確率 1-p で 0 を取る分布」なので (これは人に聞かずとも検索すればわかる), Sn = k となる確率を計算してください. また, 独立な確率変数の和の平均値や分散はそれぞれの確率変数の平均値や分散の和になります (試験が終わったら確かめてください). これを使えば Sn/n の平均値や分散は簡単なはず.
・サイコロ投げ: サイコロの出目の範囲が分からないので解けません. 出目の範囲が分かれば上と同じように平均や分散が求まりますし, 共分散は定義に従って地道に計算するだけです.
・最後: 「ベルヌーイ分布」のときに同じ.
教科書や参考書の類は持ってないの?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました!!
テストなんとか間に合いました、助かりました。

お礼日時:2009/08/06 21:50

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Q確率母関数の定義

確率母関数の定義を詳しく教えてください。

私が知っている範囲ですと,あやふやな確率の母集団の確立を表すことであやふやな確立の近似値を示すことができる。ということです。

不確かなことなので間違っているかもしれませんが,どうかお願いします。

Aベストアンサー

通常、確率母関数というのは、離散値(非負整数値)を取る確率変数のべきモーメントを指します。すなわち、

0を取る確率がp_0、1を取る確率がp_1、2を取る確率がp_2、…
であるような確率分布を考えます。当然p_0+p_1+p_2+…=1となります。
このとき、この(確率)分布の確率母関数G(t)とはt^Xの期待値をいいます。
もっと解りやすく書くと、
G(t)=p_0+p_1t+p_2t^2+p_3t^3+…
のことを言います。べき級数の各係数が、
そのべきを取る確率になっているようなもののことです。
なぜ確率母関数と呼ばれるかというと、次の事実によります。
すなわちG(0)=p_0、G'(0)=p_1、G''(0)=2p_2、
…、G^(n)(0)=n!p_n、…のように、原点での微分係数が
確率を与える(すなわち確率の母というわけです)からです。

通常、連続分布などの場合は、ラプラス変換であるモーメント母関数、
あるいはフーリエ変換である特性関数などを用いますが、
離散値であることがわかっている場合は、確率母関数を用いる方が
計算が容易であることも多く、よく重宝されます。

なぜこれが便利かというと、たとえば二つの確率分布が独立であること
の証明をするのに、確率母関数が積に分解するかどうかを確かめる
だけでよいからです。このことはモーメント母関数でも特性関数でも
まったく同様です。

なお、通常用いられている、分布関数F(x)という用語は、
ある確率変数(あるいは確率分布)で、値x以下を取る確率のことを
指します。したがって確率母関数とは異なる用語です。

通常、確率母関数というのは、離散値(非負整数値)を取る確率変数のべきモーメントを指します。すなわち、

0を取る確率がp_0、1を取る確率がp_1、2を取る確率がp_2、…
であるような確率分布を考えます。当然p_0+p_1+p_2+…=1となります。
このとき、この(確率)分布の確率母関数G(t)とはt^Xの期待値をいいます。
もっと解りやすく書くと、
G(t)=p_0+p_1t+p_2t^2+p_3t^3+…
のことを言います。べき級数の各係数が、
そのべきを取る確率になっているようなもののことです。
なぜ確率母関数と呼ばれるかという...続きを読む

Q負の二項分布の積率母関数

負の二項分布の積率母関数がわかりません(><;)
二項分布の積率母関数だとM(t)=(pe^t+(1-p))^m と表せますよね??こんな風に負の二項分布の積率母関数も表せないでしょうか??
独立な確率変数X、Yに関して、再生性を証明したいのですが・・・
どなたかよろしくお願いします!!m(_ _)m

Aベストアンサー

独立同一の幾何分布にしたがう確率変数の和の確率分布が負の二項分布でした。だから再生性はほとんど自明ですが、せっかくだから。。。

幾何分布の確率関数f(x)=p(1-p)^(x-1) (x≧1)
積率母関数M(t)=E[e^(xt)]
=Σp(1-p)^(x-1)*e^(xt)
=Σ(pe^t)*((1-p)e^t)^(x-1)
=(pe^t)/(1-(1-p)e^t)

よって、負の二項分布(n,p)の積率母関数は
E[e^(xt)]={(pe^t)/(1-(1-p)e^t)}^n

ついでに、この式から確率関数が求められて、
M(t)={(pe^t)/(1-(1-p)e^t)}^n
=p^n*e^nt*Σ(-1)^k*C[-n,k]*(1-p)^k*e^kt  (k=0,1,2,...)
=Σ(-1)^k*C[-n,k]*p^n*(1-p)^k*e^((n+k)t)  (C[-n,k]は一般の二項係数)
=Σ(-1)^(x-n)*C[-n,x-n]*p^n*(1-p)^(x-n)*e^(xt)  (x=n+k)
∴f(x)=Σ(-1)^(x-n)*C[-n,x-n]*p^n*(-1+p)^(x-n)  (x=n,n+1,n+2,...)
となる。二項係数を
C[-n,x-n]=(-n)(-n-1)…(-x+1)/(x-n)!
=(-1)^(x-n)*C[x-1,n-1]
と変形すると、見慣れた式になる。
f(x)=ΣC[x-1,n-1]*p^n*(1-p)^(x-n)  (x=n,n+1,n+2,...)

独立同一の幾何分布にしたがう確率変数の和の確率分布が負の二項分布でした。だから再生性はほとんど自明ですが、せっかくだから。。。

幾何分布の確率関数f(x)=p(1-p)^(x-1) (x≧1)
積率母関数M(t)=E[e^(xt)]
=Σp(1-p)^(x-1)*e^(xt)
=Σ(pe^t)*((1-p)e^t)^(x-1)
=(pe^t)/(1-(1-p)e^t)

よって、負の二項分布(n,p)の積率母関数は
E[e^(xt)]={(pe^t)/(1-(1-p)e^t)}^n

ついでに、この式から確率関数が求められて、
M(t)={(pe^t)/(1-(1-p)e^t)}^n
=p^n*e^nt*Σ(-1)^k*C[-n,k]*(1-p)^k*e^kt  (k=0,1,2...続きを読む

Q確率変数の和の問題

確率変数の和の問題です。

2つの確率変数XとYが、互いに独立に一様分布に従うとするとき、
確率変数X+Yはどのような分布の形状になるのでしょうか?

結局、和も一様分布になるのでしょうか?分からなくなってしまいました。
教えて下さい。

Aベストアンサー

連続型でピンとこないなら、離散型で考えてみれば?例えばサイコロを1個振るでしょ。1から6に一様(離散なので一様的)に出るね。2回振って和を取ると、平均3.5*2=7だけど2から12が一様的には出ないよね。
元問題を正確に解くと、確率変数X,Yの確率密度関数をf(x),g(y)として。確率変数Z=X+Yの確率密度関数をh(z)とすると。
h(z)=∫[-∞,∞]f(z-y)g(y)dy または h(z)=∫[-∞,∞]f(x)g(z-x)dx を計算すればよい。
問題よりf(x)=1 (0≦x≦1),g(y)=1 (0≦y≦1) なので 0≦z≦1のときyは0≦y≦z,1<z≦2のときz-1≦y≦1の範囲をとる。
0≦z≦1 のとき h(z)=∫[0,z]f(z-y)g(y)dy=∫[0,z]1・1dy=z
1<z≦2 のとき h(z)=∫[z-1,1]f(z-y)g(y)dy=∫[z-1,1]1・1dy=1-(z-1)=2-z

Q幾何分布の積率母関数

幾何分布の積率母関数を求めるときに、
公比に(e^t)*qという級数が現れて、n→∞とした時、
収束すると教科書に書かれているのですが、
それは公比が1より小さい時しか成り立たないと思います。

tの定義域が0にすごく近いのなら分かるのですが、
そういった意味で収束するといっているのですか?

そもそも、tの定義域は何ですか?

Aベストアンサー

積率母関数は微分してt=0にして確率変数のモーメントを求めることが
目的なので、t=0を含むある区間で収束していればよいのです。
命名からも分かる通り、積率(モーメント)を生み出す(母となる)関
数なのです。英語では、moment generating functionです。
momentをgenerateするfunction

Qラグランジュを使った費用最小化問題の計算について

費用最小化問題を解くときにラグランジュ未定乗数法を用いてл=wL+rk+λ(2-k^1/3・L1/3)となったとします。
その後、LとKとλについてそれぞれ上の微分した式を作ります。
L'=w-(λ/3・K^1/3・L^-2/3)=0 …(1)
k'=r-(λ/3^-2/3・L^1/3)=0 …(2)
λ'=2-k^1/3L^1/3=0 …(3)

ここまでは理解出来るのですが、教科書を読むとここから(1)、(2)より
w/r=k/LしたがってK=w/r・Lとなるので、これを(3)に代入する。

と書いてあるのですが、(1)、(2)よりw/r=k/Lとなるその計算の手順が分かりません。
私が(1)、(2)を連立方程式で解いてもこんなにも綺麗な形にならずに困っております。
どのようにして方に乗っている分数をきれいに払うことが出来るのでしょうか?
考え方、計算手順をご指南いただければと思います。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

L'=w-(λ/3・K^(1/3)・L^(-2/3))=0 …(1)
k'=r-(λ/3・K^(-2/3)・L^(1/3))=0 …(2)
だとすると
w=λ/3・K^(1/3)・L^(-2/3) …(3)
r=λ/3・K^(-2/3)・L^(1/3) …(4)
となって(3)/(4)とすると
w/r=K・L^(-1)

Qミクロ経済学、選好関係の凸性と効用関数の準凹性について。

合理的選好関係が凸性を満たすときに、対応する効用関数u:X→Rは準凹性であるとされていますが、それはなぜでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

以下のように容易に示すことができます。

Xを消費集合とし、さらにある効用関数u:X→Rが合理的選好関係≫を表現しているとします(合理的選好関係とは推移性と完備性を満たすものと定義しています)。
すなわち任意のalternative x,y∈Xに対して
x≫y ⇔ u(x)≧u(y)
が成り立っているとします。
このときuが準凹であること、すなわち任意のx,y∈Xと0≦t≦1に対して
u(tx+(1-t)y)≧min{u(x),u(y)}
であることを示します。
選好関係≫が凸であることから、任意のx,y∈Xに対して、
tx+(1-t)y≫x or tx+(1-t)y≫y
⇔u(tx+(1-t)y)≧u(x) or u(tx+(1-t)y)≧u(y)
⇔u(tx+(1-t)y)≧min{u(x),u(y)}
以上で証明できました。

Q【指数分布】確率変数の和

X1,X2,...,Xnは互いに独立な確率変数であり、
それぞれ指数分布 f(x)=1/λ*exp(-x/λ) (x>0)
に従います。
確率変数 Yk=X1+X2+...+Xk の確率密度関数をfk(x)
とするとき、
(1)fk(x)=∫[0,∞]fk-1(x-t)f(t)dt (x>0) を示せ。
(2)fn(x)を求めよ。
(3)確率変数 Yk=X1+X2+...+Xk の期待値、分散を求めよ。
との問題なのですが、

(1)について、
XとYが独立であるとき、Z=X+Yの確率密度関数fZ(z)は
畳み込み積分で与えられるので、
fZ(z)=∫[-∞→∞]fX(x)fY(z-x)dx を...と考えたのですが
上手く証明ができません。

また、(2)について、
指数分布が事象が起きる時間間隔が従う分布だということから
要は、n回の事象が起きるまでの時間と考え、
fn(x)=n/λ
だとは思うのですが、よくこれは特性関数から計算すれば良いのでしょうか...

どなたか数学に詳しい方が居られましたら、
ご教授のほどよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

「畳み込み積分がいまいち理解できていない」の「いまいち」がどこからを指すのかわかりませんが, とりあえず「畳み込み積分で確率変数の和の確率密度関数が表せる」ことがわかっていれば (1) は難しくないはず... というか, ほぼ「畳み込みで書ける, 終わり」のレベル. ヒントは
X1+X2+...+Xk = (X1+X2+...+X(k-1)) + Xk.

で (2) はすっとばして (3) については, 確率変数 X の期待値を E[X], 分散を V[X] で表すことにすると, 2つの確率変数 X, Y に対して
・E[X+Y] = E[X] + E[Y]
・X と Y が独立なら V[X+Y] = V[X] + V[Y]
であることを知っていれば簡単. (1) や (2) とは無関係に解けてしまう.


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