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教科書で問題を解いてるときに 
∫(e^x /x^5)dx
という積分が出てきました。1日考えてみて置換積分を試したりしてもも糸口すら見つかりません。
出来るなら解答までの計算式も含めて、どうかよろしくお願いします。

一応ですが、元の問題は (x^2)y''-5xy'+8y=e^x  です。
もしこの積分が必要ない時には問題の1歩目から間違ってる事になるのでご指摘お願いします。

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A 回答 (4件)

ANo.2さんの回答が「内容確認中」なので重複しているかもしれません。



途中で∫(e^x /x^5) dx は出てきます。∫(e^x /x^5) dx は部分積分法を使って、∫(e^x /x) dx を含む形に変形できますが、∫(e^x /x) dx は初等関数で表わすことはできません。

問題の解は、指数積分関数 Ei(n,x) を使うと
   y = -(1/48)*( x - 3 )* ( x^2 + 4*x + 2 )*exp(x) - (1/48)*x^2*[ { Ei(1,-x) - 48*C1 }*x^2 - 12*Ei(1,-x) - 48*C2 ] ]
となります。指数積分関数は
   Ei(n,x) = ∫[t = 1~∞] exp(-x*t)/t^n dt
で定義されますが、解の中に含まれるのは n = 1 場合の関数
   Ei(1,-x) = ∫[t = 1~∞] exp(x*t)/t dt
です。

(解法)
元の微分方程式の両辺を x^2 で割ると
  y'' - 5*y'/x + 8*y/x^2 = exp(x)/x^2
となるので、z = y/x^2 おくと z(x) に関する微分方程式
   z'' - z'/x = exp(x)/x^4
となります。さらに p = z' とおけば、p(x) に関する1階の微分方程式
   p' - p/x = exp(x)/x^4
になります。この解は
   p = x*∫exp(x)/x^5 dx + C1*x
問題の積分 ∫exp(x)/x^5 dx は部分積分を繰り返せば
   ∫exp(x)/x^5 dx = -(1/24)*exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) + (1/24)*∫exp(x)/x dx
なので
    p = -(1/24)*exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) + (1/24)*∫exp(x)/x dx + C1*x
したがって
   z = ∫p dx = -(1/24)*∫exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) dx + (1/24)*∬exp(x)/x dx + C1*(x^2/2) + C2
最終的には
   y = x^2*z
から y を計算しますが、以下の性質を使えば Ei(1,-x) で表わすことができます。
   ∫exp(x)/x dx = -Ei(1,-x)
   ∫exp(x)/x^2 dx = -exp(x)/x - Ei(1,-x)
   ∫exp(x)/x^3 dx = -(1/2)*exp(x)/x^2 - (1/2)*exp(x)/x - (1/2)*Ei(1,-x)
   ∫exp(x)/x^4 dx = -(1/3)*exp(x)/x^3 -(1/6)*exp(x)/x^2 -(1/6)*exp(x)/x - (1/6)*Ei(1,-x)
   ∬exp(x)/x dx = - exp(x) - x*Ei(1,-x)
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この回答へのお礼

途中の計算までご丁寧にありがとうございます。大体分かったんですが、重ねて質問させてください。まず
p = x*∫exp(x)/x^5 dx + C1*x  から
p = -(1/24)*exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) + (1/24)*∫exp(x)/x dx + C1*x
でxが消えてるのは単なる書き忘れでしょうか?後、
∬exp(x)/x dx = - exp(x) - x*Ei(1,-x)
がどうしてこうなるのか分からないのでご教授お願いしますm(__)m

お礼日時:2009/08/09 18:59

>単なる書き忘れでしょうか?


済みません、書き忘れです。
   ∫exp(x)/x^5 dx = -(1/24)*exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) + (1/24)*∫exp(x)/x dx
なので
   p = x*∫exp(x)/x^5 dx + C1*x
    = -(1/24)*exp(x)*( 1 + 1/x + 2/x^2 + 6/x^3 ) + (x/24)*∫exp(x)/x dx + C1*x
が正解です。

>∬exp(x)/x dx = - exp(x) - x*Ei(1,-x) がどうしてこうなるのか
これも部分積分で計算できます。
   ∬exp(x)/x dxdx = ∫{ 1×∫exp(x)/x dx } dx
なので
   = x*∫exp(x)/x dx - ∫x*{ exp(x)/x } dx
   = x*∫exp(x)/x dx - ∫exp(x) dx
   = x*∫exp(x)/x dx - exp(x)
∫exp(x)/x dx = -Ei(1,-x) なので
   = -x*Ei(1,-x) - exp(x)
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この回答へのお礼

ああ、なるほど。判りました。
わざわざありがとうございました

お礼日時:2009/08/10 10:03

質問の不定積分は部分積分を繰り返せば,最後に


∫(e^x)/xdx という積分に行き着きます。
この積分は初等関数の範囲では積分できません。

大学の数学レベルになり、参考URLの超越関数(特殊関数)の指数積分Ei(x)を使えば、積分を以下のように表すことができます。
∫(e^x/x^5)dx = -(1/24)(6+2x+x^2+x^3)exp(x)/x^4 -(1/24)Ei(x)

なお、
> (x^2)y''-5xy'+8y=e^x
この微分方程式の右辺=0とおいた方程式の一般解y1は

 y1=C1x^4+C2x^2

になりますが、特解y1は初等関数の範囲では解けません。
特殊関数の指数積分Eiを使えば特解y2が求まるので、
一般解yは次のように表されます。

 y=y1+x2=C1x^4+C2x^2
  -(1/48)(x-3)(x^2+4x+2)e^x -(1/48)(x^4-12x^2)Ei(x)

参考URL
http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=exp% …
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0% …
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?path=0 …
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この回答へのお礼

微分方程式の右辺=0とおいた方程式の一般解y1が
y1=C1x^4+C2x^2
になるまでは分かったんですけどね。たまたま基本解の一つがx^2と気付けたので。レポートの問題だったのですが指数積分はテキストに載ってないのでEiをA(x)とでも置いて計算、提出してみます。ありがとうございました。

お礼日時:2009/08/09 18:46

この不定積分は初等関数では表せないものです


部分積分を繰り返すと,本質的に
∫e^x/x dxに帰着できますが,
これは「指数積分」と呼ばれる特殊関数の親戚です.
(「指数積分」そのものは広義積分で定義されるものなので
あえて「親戚」といってみる).

微分方程式についてはあんまり得意じゃないのでパス.
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この回答へのお礼

初等関数で表せないっていうのはビックリです。レポートの問題だったのですが、その範囲でのテキストに指数積分が載ってない以上適当な関数で表して提出しますわ。ありがとうございました。

お礼日時:2009/08/09 18:39

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これを逆ラプラス変換してX(t)およびY(t)を求めようと思います。
部分分数展開して積分を行ったのですが、その際どうしても以下の
積分を求める必要が出てきます。

∫exp(s)/s ds ……(1)


∫exp(s)*s^n ds
において、nが自然数なら、部分積分で求めることができるのですが、
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仮に(1)を部分積分しても、
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と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
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∫[0→a]e^-x^2dx
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  45°→タンジェント→1
  1  →アークタンジェント→45°
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Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

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30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

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∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

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宜しくお願いします。

昔、高校で
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「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

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Qe^-1/Tの積分

現在、次のような微分方程式を解かなければならず、
悪戦苦闘しています。

dx/dT=k/a*exp(-E/RT)*(1-x)

この式のうち、k,a,E,Rは定数で既知なので、無視すると、

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という微分方程式になります。

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dx/(1-x) = exp(-1/T)dT

これの両辺を積分するのですが、左辺は
ln{1/(1-x)}
という答えになるのがわかるのですが、右辺の

∫exp(-1/T)dT

という積分が解けません。

どなたか教えていただけませんでしょうか。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

exp(-1/T)dT
-1/T=t
とおくと
T=-1/t
dT=1/t^2dt
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exp(t)/tの積分は 積分指数関数 Ei(t)
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大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html


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