No.3ベストアンサー
- 回答日時:
ANo.2さんの回答が「内容確認中」なので重複しているかもしれません。
途中で∫(e^x /x^5) dx は出てきます。∫(e^x /x^5) dx は部分積分法を使って、∫(e^x /x) dx を含む形に変形できますが、∫(e^x /x) dx は初等関数で表わすことはできません。
問題の解は、指数積分関数 Ei(n,x) を使うと
y = -(1/48)*( x - 3 )* ( x^2 + 4*x + 2 )*exp(x) - (1/48)*x^2*[ { Ei(1,-x) - 48*C1 }*x^2 - 12*Ei(1,-x) - 48*C2 ] ]
となります。指数積分関数は
Ei(n,x) = ∫[t = 1~∞] exp(-x*t)/t^n dt
で定義されますが、解の中に含まれるのは n = 1 場合の関数
Ei(1,-x) = ∫[t = 1~∞] exp(x*t)/t dt
です。
(解法)
元の微分方程式の両辺を x^2 で割ると
y'' - 5*y'/x + 8*y/x^2 = exp(x)/x^2
となるので、z = y/x^2 おくと z(x) に関する微分方程式
z'' - z'/x = exp(x)/x^4
となります。さらに p = z' とおけば、p(x) に関する1階の微分方程式
p' - p/x = exp(x)/x^4
になります。この解は
p = x*∫exp(x)/x^5 dx + C1*x
問題の積分 ∫exp(x)/x^5 dx は部分積分を繰り返せば
∫exp(x)/x^5 dx = -(1/24)*exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) + (1/24)*∫exp(x)/x dx
なので
p = -(1/24)*exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) + (1/24)*∫exp(x)/x dx + C1*x
したがって
z = ∫p dx = -(1/24)*∫exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) dx + (1/24)*∬exp(x)/x dx + C1*(x^2/2) + C2
最終的には
y = x^2*z
から y を計算しますが、以下の性質を使えば Ei(1,-x) で表わすことができます。
∫exp(x)/x dx = -Ei(1,-x)
∫exp(x)/x^2 dx = -exp(x)/x - Ei(1,-x)
∫exp(x)/x^3 dx = -(1/2)*exp(x)/x^2 - (1/2)*exp(x)/x - (1/2)*Ei(1,-x)
∫exp(x)/x^4 dx = -(1/3)*exp(x)/x^3 -(1/6)*exp(x)/x^2 -(1/6)*exp(x)/x - (1/6)*Ei(1,-x)
∬exp(x)/x dx = - exp(x) - x*Ei(1,-x)
途中の計算までご丁寧にありがとうございます。大体分かったんですが、重ねて質問させてください。まず
p = x*∫exp(x)/x^5 dx + C1*x から
p = -(1/24)*exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) + (1/24)*∫exp(x)/x dx + C1*x
でxが消えてるのは単なる書き忘れでしょうか?後、
∬exp(x)/x dx = - exp(x) - x*Ei(1,-x)
がどうしてこうなるのか分からないのでご教授お願いしますm(__)m
No.4
- 回答日時:
>単なる書き忘れでしょうか?
済みません、書き忘れです。
∫exp(x)/x^5 dx = -(1/24)*exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) + (1/24)*∫exp(x)/x dx
なので
p = x*∫exp(x)/x^5 dx + C1*x
= -(1/24)*exp(x)*( 1 + 1/x + 2/x^2 + 6/x^3 ) + (x/24)*∫exp(x)/x dx + C1*x
が正解です。
>∬exp(x)/x dx = - exp(x) - x*Ei(1,-x) がどうしてこうなるのか
これも部分積分で計算できます。
∬exp(x)/x dxdx = ∫{ 1×∫exp(x)/x dx } dx
なので
= x*∫exp(x)/x dx - ∫x*{ exp(x)/x } dx
= x*∫exp(x)/x dx - ∫exp(x) dx
= x*∫exp(x)/x dx - exp(x)
∫exp(x)/x dx = -Ei(1,-x) なので
= -x*Ei(1,-x) - exp(x)
No.2
- 回答日時:
質問の不定積分は部分積分を繰り返せば,最後に
∫(e^x)/xdx という積分に行き着きます。
この積分は初等関数の範囲では積分できません。
大学の数学レベルになり、参考URLの超越関数(特殊関数)の指数積分Ei(x)を使えば、積分を以下のように表すことができます。
∫(e^x/x^5)dx = -(1/24)(6+2x+x^2+x^3)exp(x)/x^4 -(1/24)Ei(x)
なお、
> (x^2)y''-5xy'+8y=e^x
この微分方程式の右辺=0とおいた方程式の一般解y1は
y1=C1x^4+C2x^2
になりますが、特解y1は初等関数の範囲では解けません。
特殊関数の指数積分Eiを使えば特解y2が求まるので、
一般解yは次のように表されます。
y=y1+x2=C1x^4+C2x^2
-(1/48)(x-3)(x^2+4x+2)e^x -(1/48)(x^4-12x^2)Ei(x)
参考URL
http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=exp% …
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0% …
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?path=0 …
微分方程式の右辺=0とおいた方程式の一般解y1が
y1=C1x^4+C2x^2
になるまでは分かったんですけどね。たまたま基本解の一つがx^2と気付けたので。レポートの問題だったのですが指数積分はテキストに載ってないのでEiをA(x)とでも置いて計算、提出してみます。ありがとうございました。
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