n階導関数（積の導関数の・・・）

f(x)=e^x×cosx
のn階導関数がわかりません。
4回で1周期をとるようには思うのですが・・・
f'(x)=e^x(cosx-sinx)
f"(x)=-2e^x×sinx
…と5階までは微分したのですが、どうもn階の予想が立ちません。
誰かわかるひといますか？

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/08/08 23:03

高階までやってみるより、

一階をよく眺めよう。

f ' (x)
= (e^x) { cos(x) - sin(x) }
= (e^x) (√2) cos(x + π/4)
= { (√2) (e^-π/4) } f(x + π/4)
を繰り返し使えば、

f^(n) (x)
= { (√2) (e^-π/4) }^n f(x + nπ/4)
= { 2^(n/2) } (e^x) cos(x + nπ/4)
じゃね？

No.2 回答者： proto 回答日時： 2009/08/08 18:11

奥の手ですが、

　　cos(x) = (e^(ix)+e^(-ix))/2
より
　　(e^x)*cos(x) = (e^x)*(e^(ix)+e^(-ix))/2 = (e^((1+i)x)+e^((1-i)x))/2
としてからn階導関数を求めて見てはどうでしょうか。

(1+i)^n,(1-i)^nをそれぞれ、
　　1+i = (√2)*(cos(π/4)+i*sin(π/4))
　　1-i = (√2)*(cos(-π/4)+i*sin(-π/4))
としてからド・モアブルの定理を適用することにより更に見通しが良くなるはずです。

No.1 回答者： haragyatei 回答日時： 2009/08/08 16:18

こういう問題はｎが奇数とか場合分けしないと解けません。

周期４で変わるのでnが3n+1、3n+2、3n+3と分けた求めればよいと思います。
たとえば
n=4のとき-4f(x)なのであとは漸化式でn=8のとき16f(x)です。一般化して書いてください。