円柱を有る角度で切った場合の長軸の角度の求め方を教えてください

以前円柱を有る角度で切断した場合に出来る楕円の計算方法をお教え頂きましたが。今回Ф７６．２の円柱で軸は初めはＺ軸に平行で、X軸周りに１３度、Y軸周りに８度に傾けて切断した時の断面形状の計算式はお教え頂いた計算の仕方から、Ｚ軸に平行な単位ベクトルｅz＝（０，０，１）をX軸周りに１３度まわすと　（０、ｓｉｎ１３°、ｃｏｓ１３°）これを更にY軸周りに８度まわすと　（ｃｏｓ１３°ｓｉｎ８°、ｓｉｎ１３°、ｃｏｓ１３°ｃｏｓ８°）でＺ軸とのなす角をθとすると　ｅzとｐの内積は　１・１・ｃｏｓθ＝０＋０＋ｃｏｓ１３°ｃｏｓ８°
　　θ≒arccos（0.9648）≒１５．２２８°
　　楕円形状は　短円=７６．２
　　長円=７６．２／ｃｏｓ１５．２２８°≒７８．９７２
だと思うのですが(余り自身が有りませんが)、長円はx軸に対して角度が付いた状態で有ると思いますが、その角度の計算方法が分かりません申し訳ありませんが再度お教え下さい。

※添付画像が削除されました。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/08/11 03:25

#1です。

A#1の補足質問の回答
>X軸１３度回転の断面長=76.2/COS(13度)≒78.204
OKです。
>θ≒arccos（0.9648）≒15.228°
OKです。

>長軸直径=76.2/cos15.228°≒78.972　
私の計算では78.973ですのでほぼ合っていますね。

>長軸直径方向とはx軸との角度θを求めるなら
>θ=arccos(長い方の直径/１３度位置長さ)=arccos(78.972/78.204)=8度
この計算ではダメです。
pを成分に分けたものをp(px,py,pz)とすると
θ=arccos(px/√(px^2+py^2))≒58.917°
となります。この場合の長軸の直径の方向をz軸から遠ざかる方向にとっています。逆のz軸に向かう方向の長軸方向をとるなら
θ'=180°-θ
とします。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
断面を見た図を添付しますが、このようになると考えて良いのでしょうか、全くの素人で申し訳ありません。

お礼日時：2009/08/11 06:18

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/08/11 10:49

#1,#2です。

A#2の補足の質問の回答
>断面を見た図を添付しますが、このようになると考えて良いのでしょうか、
水平軸をX軸方向（右方向が正方向）、垂直軸をY軸方向（上方向を正方向）、
画面を下から上に付けぬける方向をZ軸正方向とした水平断面図とすれば、添付の画像でよろしいと思います。
（ここに画像を添付するさい画像の縦横比を考えてアップしないと縦横比が正確に表示されません。φ76.2の円が上下方向に扁平に潰れてしまっていますね。元の図は真円だと思いますが...）

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。
画像は作成したそのままUPされると思っていましたが、縦横比を考慮しないといけなかったのですね、勉強になりました。
本当に親切に色々とお教え頂きありがとうございました。

お礼日時：2009/08/11 12:06

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/08/10 19:35

>Ф７６．２の円柱で軸は初めはＺ軸に平行で、X軸周りに１３度、Y軸周りに８度に傾けて切断した時の断面形状...

文章が省略しすぎで正しく把握できません。

円柱の中心軸をＺ軸に平行に置きます。その円柱を最初はX軸の周りに、時計方向（右回り）に１３度回転し、ついでY軸周りに、反時計方向（左回り）に８度回転し、傾いた円柱をz軸に直角な平面（XY平面に平行な平面）で切断した時の断面形状...

のように解釈していいですか？
また
>短円、長円
とあるのは
それぞれ、楕円の短い方の直径（短直径）、長い方の直径（長直径）としていいですか？

>長円はx軸に対して角度が付いた状態で有ると思いますが、その角度の計算方法
長円は長直径でしょうか？

やり方は
長直径方向の単位ベクトルeθ＝(((p×ez)/|p×ez|)×ez)を求めて、それとX軸方向の単位ベクトルexの内積(eθ・ex)を求め、そのarccos((eθ・ex))をとればいいと思います。なお「×」はベクトル積、「・」は内積を表します。

この回答への補足

早速お教え頂きありがとうございます。
説明不足で申し訳ありませんでした。ご回答頂いた通り回転はX軸の周りは時計方向１３度回転、Y軸周りは反時計方向８度回転し傾いた円柱をZ軸に直角な平面で切断した時の断面形状で良いのですが、小生余り数学が詳しくなくお教え頂いた計算式が余り理解できないのですが、このような考え方では駄目でしょうか、X軸１３度回転の断面長=76.2/COS(13度)≒78.204
θ=arccos(長い方の直径/１３度位置長さ)=arccos(78.972/78.204)=8度
の考え方で良いのでしょうか。

補足日時：2009/08/10 20:33