フーリエ変換逆変換

h(t)のフーリエ変換をH(ω)とし、フーリエ変換逆変換の定義は以下を用いるとする。
H(ω)=∫[-∞ to ∞]h(t)exp(-iωt)dt
h(t)=(1/2π)∫[-∞ to ∞]H(ω)exp(iωt)dω

h(t)=(1/2π)∫[-∞ to ∞]H(ω)exp(iωt)dω
　　=(1/2π)∫[-∞ to ∞]∫[-∞ to ∞]h(t)exp(-iωt)dt*exp(iωt)dω
という風にHを代入し、逆変換でもとのhに戻ることを示そうとしたのですが、部分分数展開もうまくいかず、手詰まりとなってしまいました。

どの様にすればもとの式に治せるのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/08/13 22:26

すみません、説明がかなり不足しています。

&一部間違っていました。

>(1)　(1/2π)∫exp(ix(k-t))dx=δ(k-t)の積分の積分区間は-∞→∞ですか？
そのとおりです。


>(2)　「k≠tについては複素平面上で-R→(実軸上)→R→(|z|=Re^(iθ),0≦θ≦πの半円上)→-Rの積分が0になること」とのことですが、

すみません。これは間違いです。k>tの場合での話です。k<tでの場合、積分経路は次のとおりにとったほうが証明しやすいです。
-R→(実軸上)→R→(|z|=Re^(iθ),0≦θ≦-πの半円上)→-R
半円を複素平面の下側にとります。このほうが証明しやすい。

これは単に実数xを複素数zに置き換えます。つまり
∫_C exp(iz(k-t))dz C：上記の積分経路を1周
が"0"になるということです。exp(iz(k-t))はすべてのzにおいて正則ですのでこの積分は"0"になります。(コーシーの積分定理より)


>(3)　「半円上の積分がR→∞で0になること」とのことですが、これはどのようにして出てくるのですか？
ここからの話はすべてk>tの場合で進めます。
実軸上の積分は
∫[x:-R→R]exp(ix(k-t))dx　となります。
半円上での積分はz=Re^(iθ)ですから
∫[θ:0→π]exp(iR^(iθ)(k-t))*Rie^(iθ)dθ
となります。
ここで被積分関数の絶対値を取りますと
|exp(iR^(iθ)(k-t))*Rie^(iθ)|=|exp(iR(cosθ+i*sinθ)(k-t))*R|
=|exp(iR(k-t)cosθ-R(k-t)sinθ*R|
=|exp(-R(k-t)sinθ)*R|
となります。0<θ<πでsinθ>0ですからR→∞でこの絶対値は0に収束します。

0≦|∫[θ:0→π}exp(iR^(iθ)(k-t))*Rie^(iθ)dθ|≦∫[θ:0→π]|exp(iR^(iθ)(k-t))*Rie^(iθ)|dθ
でR→∞で右辺は0に収束しますのでこの積分は0に収束します。

この回答へのお礼

>これは単に実数xを複素数zに置き換えます。つまり
>∫_C exp(iz(k-t))dz C：上記の積分経路を1周
>が"0"になるということです。
x=zと置き換えた場合、zは実軸上を-∞→∞という径路で積分することになると思うのですが、何故このような閉じた径路での積分となるのですか？


>実軸上の積分は
>∫[x:-R→R]exp(ix(k-t))dx　となります。
>半円上での積分はz=Re^(iθ)ですから
>∫[θ:0→π]exp(iR^(iθ)(k-t))*Rie^(iθ)dθ
>となります。
コーシーの定理から、径路積分のスタート地点とゴール地点が同じなら、積分の値は同じということから、実軸上の線積分を半円状の径路を使って求めようとしているのだと思ったのですが、x:-R→Rなら、θ:-π→0ではないんですか？

後、
∫[θ:0→π]exp(iR^(iθ)(k-t))*Rie^(iθ)dθ
ってミスでeが抜けてるだけで、
∫[θ:0→π]exp(iRe^(iθ)(k-t))*Rie^(iθ)dθ
という風になるんですよね？


>=|exp(-R(k-t)sinθ)*R|
>となります。0<θ<πでsinθ>0ですからR→∞でこの絶対値は0に収束します。
積分区間が0<θ<πなので、sinθが限りなく、0に近付くときがあると思うのですが、何故、sinθが限りなく0に近付いた場合でも、R→∞でRsinθ→∞となると言えるのですか？
また、もしこれが0に収束するのなら、
lim[R→∞]∫[x:-R→R]exp(ix(k-t))dx=lim[R→∞]{exp(ix(k-t))/i(k-t)}[x:-R→R]
　　　　　　　　　　　　　　　　　 =lim[R→∞]{exp(iR(k-t))-exp(-iR(k-t))}/i(k-t)
　　　　　　　　　　　　　　　　　 =lim[R→∞]{2i*sin((t-k)R)}/i(k-t)
　　　　　　　　　　　　　　　　　 =lim[R→∞]{2*sin((k-t)R)}/(k-t)
も、0に収束することになると思うのですが、Rがどのように利いて0へ収束することになるのでしょうか？

お礼日時：2009/08/14 00:25

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/08/13 19:50

(1/2π)∫exp(ix(k-t))dx=δ(k-t)

となります。この式を使って変形してみましょう。

この式の証明はk≠tについては複素平面上で-R→(実軸上)→R→(|z|=Re^(iθ),0≦θ≦πの半円上)→-Rの積分が0になることと半円上の積分がR→∞で0になることを利用します。
k=tでは発散しますが、k:-∞→∞で積分して1になることを示せばよいでしょう。

この回答へのお礼

幾つか質問があります。

(1)　(1/2π)∫exp(ix(k-t))dx=δ(k-t)の積分の積分区間は-∞→∞ですか？

もしそうだとするなら、
(2)　「k≠tについては複素平面上で-R→(実軸上)→R→(|z|=Re^(iθ),0≦θ≦πの半円上)→-Rの積分が0になること」とのことですが、これは
z=exp(ix(k-t))
とおくと、
dz=i(k-t)exp(ix(k-t))dx
　=i(k-t)zdx

(1/2π)∫exp(ix(k-t))dx=(1/2π)∫zdx
　　　　　　　　　　　 =(1/2π)∫(1/i(k-t))dz
となり、x:-∞→∞の範囲の積分径路はz=exp(ix(k-t))なので、ぐるぐる回り続けることになると思うのですが、なぜその径路で積分が0となるのですか？

(3)　「半円上の積分がR→∞で0になること」とのことですが、これはどのようにして出てくるのですか？

お礼日時：2009/08/13 22:05

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/08/13 18:43

代入の段階でおかしいです。

H(ω)の式を代入する段階で文字tを使っています。
これは単なる積分変数であり、求めるh(t)のtとはまったく無関係の変数です。
ですから、H(ω)の式のtを別の文字に置き換えます。
ここではそれをkとでもすると

h(t)=(1/2π)∫[ω:-∞→∞]{∫[k:-∞→∞]h(k)exp(-iωk)dk}exp(iωt)dω

としなければなりません。
あとは、積分の順番を入れ替えて先にωでの積分を行ってみればよいと思います。

この回答へのお礼

解答有り難うございます。
Hを求めるときのtは、積分変数だからhのtとは無関係というのを忘れていました＾＾；
ただ、それを考慮して解いてみたのですが、

h(t)=(1/2π)∫[ω:-∞→∞]{∫[k:-∞→∞]h(k)exp(-iωk)dk}exp(iωt)dω
　　=(1/2π)∫[ω:-∞→∞]{∫[k:-∞→∞]h(k)exp(iω(t-k))dk}dω
　　=(1/2π)∫[ω:-∞→∞]{∫[k:-∞→∞]h(k)exp(iω(t-k))dω}dk
　　=(1/2π)∫[ω:-∞→∞]h(k)/i(t-k)lim[n→∞]{exp(i(t-k)n)-exp(-i(t-k)n)}dk
　　=(1/2π)∫[ω:-∞→∞]h(k)/i(t-k)lim[n→∞]{2i*sin((t-k)n)}dk

となって、手詰まりとなってしまうのですが、ここからどのようにすればいいのでしょうか？

お礼日時：2009/08/13 19:26