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次の関数の極値を求めよ。
f(x,y)=x^4+y^4-4(x-y)^2
という問題で、極値を取り得る点は(0、0)、(2、-2)、(-2、2)になりました。このうち(0、0)では、D = 0となるので,別の方法を必要とします.
色々調べたのですが,y=x上でf(x,y)>0、y=0 上でf(x,y)<0であることを見抜けば、(0,0)近傍で大小が違ってくるので,f(0,0)は極値ではないと書いてありました。
ここで質問なんですが、(2、-2)、(-2、2)における極値の求め方はわかっているので、y=x上でf(x,y)>0、y=0 上でf(x,y)<0となる方法だけ、解説をお願いいたします。

A 回答 (1件)

>y=x上でf(x,y)>0、y=0 上でf(x,y)<0となる方法だけ、


y=xとおくと
f(x,y)=f(x,x)=2x^4
x≠0の時 f(x,y)>0、x(=y)=0の時 f(x,y)=0
なのでy=x上ではx=y=0でf(x,y)は極小になります。…(◆)

一方,y=0上では
f(x,y)=f(x,0)=x^4-4x^2=x^2(x^2-4)
x≠0(|x|<2)でf(x,y)=f(x,0)<0
x=0でf(x,y)=0
なのでy=0上ではf(x,y)は極大になります。…(■)

(0,0)の近傍でも (x,y)→(0.0)の極限のとり方で(◆)と(■)となるので極大や極小のいずれもとりえません(このような停留点(0,0)を鞍点といいます)。
「極値の問題」の回答画像1
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