次の積分を求めよ。
∫{-∞,∞} (x^2)/(coshλx) dx = (Δx)^2
という問題なんですが、
複素積分を用いて解く場合、どういう経路を選択すればいいんでしょうか?
また留数定理を使う場合、分母が0になるx=π/2λが特異点で正しいのでしょうか?
あと右辺の(Δx)^2をどう扱えばいいのかも分かりません。
どなたか分かる方よろしくお願いいたしますm(__)m
また、
(√2π)/2λ ∫{-∞,∞} (p^2)/{cosh(π/2λ)} dp = (Δp)^2
の積分方法に関してもアドバイスを頂けるとありがたいです。
A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
補足:
No.2 に書いた経路の曲線部分は、
先の条件を満たす曲線で、
閉曲線が囲む領域の面積が定義可能
なものであれば、何でもよく。
曲線の具体的な式を与える必要はありません。
むしろ、曲線の式を明示しないほうが、
いかにも留数定理を使ったっぽい趣がでる。
No.4
- 回答日時:
因みに、No.1 の積分経路は、
No.2 で a = -b の場合にあたりますから、
広義積分を条件収束で取り扱っており、
十分性を欠きます。
問題の積分の収束性が、別に示してあって、
値だけ求めるのであれば、あの経路でも構いません。
No.3
- 回答日時:
#1です。
訂正です。
>n=1,3,5, ...
>に対する留数は
>-(n^2)i(π^2)/(4λ^3)
符号ですが+,-,+,-, ... と変化しますので
[(-1)^{(n-1)/2}]*(n^2)i(π^2)/(4λ^3)
,n=1,3,5, ... (奇数)
となります。
なお、補足です。
> 特異点が虚軸上に無限に並びますので、N個目間での留数に対して
> R>(2N-1)π/2のRe^(iθ),θ=0~πの積分路を補って、
> 単一閉路を作れば、
の積分路は 「-R~原点~R」+「Re^(iθ),θ=0~π」の弓形の閉路でR→∞とします。
No.2
- 回答日時:
積分経路は、
原点を含む実区間 [a,b] と、b から a までを虚軸と一回だけ交わって
結ぶ曲線を連結したもの
では、どうでしょう?
留数定理を使った後、
この曲線が囲む領域に含まれる
原点中心の半円を考え、
その半径→∞ の極限を求めればよい。
cosh(x) = (exp(x)+exp(-x))/2 = cos(x/i)
を見れば、
cosh は虚軸上に可算無限個の極を持つ
ことが判ります。
経路の極限をとるときに、
留数からなる無限級数の和を
求めることになりますね。
Δx は、出典の前後文脈を読む以外には
知りようがありませんが、
当て推量としては、左辺の √ を Δx と置く
…という意図じゃないかな。
後半の dp の積分は、
λ が定数なら、2 次関数の積分だから、発散。
λ が p の関数ならば、その関数を知らないと
計算のしようがありません。
ありがとうございました!
経路のアドバイスを参考に、チャレンジしてみたいと思います。
Δx,Δpはarrysthmiaさんのおっしゃるとおり左辺の√をとり、
Δx・Δp=(不確定性原理?)を計算してみよ、との題意がありました。
説明不足でもうしわけありませんでしたm(__)m
No.1
- 回答日時:
>分母が0になるx=π/2λが特異点で正しいのでしょうか?
cosh(λx)=0を解けば出てくるでしょう。
x=nπi/(2λ),n=±1,±3,±5, ...
が特異点となります。
n=1,3,5, ...
に対する留数は
-(n^2)i(π^2)/(4λ^3)
となりますね。
特異点が虚軸上に無限に並びますので、N個目間での留数に対してR>(2N-1)π/2のRe^(iθ),θ=0~πの積分路を補って、単一閉路を作れば、留数定理で積分を求め、N→∞に持っていくやり方になるかと思います。
後は自分でやって下さい。
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