統計学の問題です。教えてください

（1）「ソフトウェア工学講座では、定期試験の点数をUPさせるプログラミングカリキュラムXを開発している。このプログラミングカリキュラムXの受講者平均点が、非受講者平均点よりも上昇していることを示すためには、何人分の点数を集めなければならいないか算出せよ。ただし、危険率は５％とし、受講者と非受講者の人数は同数とする。受講者の平均点の予想は80点、非受講者の平均点の予想は70点である。また、点数の標準偏差は6程度と予想しており、受講者と非受講者とで分散の違いはないとする。」

（2）平均70・標準偏差6と平均80標準偏差6の正規分布のサンプル100個ずつを用いて上記の人数で点数の上昇があると判断できるか否かを示しなさい。

（3）受講者と非受講者が4名ずつのとき、点数の上昇を危険率1％で判定するためには、点数の上昇がどの程度あればよいか算出せよ。

以上、理解したいので結果のみでなく計算手順や考え方も教えてもらえると助かります。
よろしくお願いします。

No.1 回答者： quaestio 回答日時： 2009/08/22 14:40

(1)

受講者の方が非受講者より標本平均が10点以上高かったら、危険率5％で受講者の方が非受講者より母平均が高いと結論付けられるように、サンプルサイズを決めたいということですね。

受講者の母平均と標本平均をそれぞれμ1, x、非受講者のそれらをμ2, y、母分散と不偏分散をそれぞれσ^2, s^2、サンプルサイズ（点数を集めた人数）をnとします。
x, yはそれぞれ独立にN(μ1, (1/n)σ^2), N(μ2, (1/n)σ^2)に従いますので、その差の分布はN(μ1-μ2, (2/n)σ^2)に従います。
（N(x,y)なら平均がxで分散がyである正規分布を意味します）
従って、(x-y)/√{(2/n)s^2}が0より十分大きければ受講者の平均が高いといえます。
どの程度大きければよいかは、(x-y)/√{(2/n)s^2}は自由度2(n-1)のt分布に従いますので、自由度2(n-1)のt分布の95%点がその境界となります。
すなわち自由度2(n-1)のt分布の95%点をt(2(n-1), 0.95)とすれば、
(x-y)/√{(2/n)s^2} > t(2(n-1), 0.95)
とならなければいけません。

さて、x-y = 10、s^2 = 6^2と予想されていますのでこれらを
(x-y)/√{(2/n)s^2} > t(2(n-1), 0.95)
に代入して、nを変えていったときこの式を満たす最小のnを求めればそれが答えとなります。


(2)
とりあえず、まずシミュレーションしてみましょう。
考察はその後です。


(3)
(1)と対を成すような問題で、
(x-y)/√{(2/n)s^2} > t(2(n-1), 0.99)
にs^2 = 6^2, n = 4を代入して、この式を満たす最小のx-yを求めればいいです。