『ボヘミアン・ラプソディ』はなぜ人々を魅了したのか >>

y′+ay=b , y(0)=y0の解の公式を導きなさい
上記の問題の解き方を教えてください。
ちなみにラプラス変換を使わない方法でお願いします。

A 回答 (5件)

#2,#4です。


A#2は直接微分方程式を解く方法ですが、

>ラプラス変換を使わない方法
として演算子法を使う方法では以下のようになります。

d/dx=Dとおいて
(D+a)y=b
y=b/(D+a)=e^(-ax)(∫[0->x] b e^(at)dt+y0)
=y0 e^(-ax) + b e^(-ax)∫[0->x] e^(at)dt
=y0 e^(-ax) + b e^(-ax) [(1/a)e^(at)](t=0->x)
=y0 e^(-ax) + (b/a) e^(-ax){e^(ax)-1}
= ...
↑後は式を整理するだけですので、やってみてください。
    • good
    • 0

#2です。


>y=(b/a)(1-e^(-ax))+y0
>
>以上のような解答になったのですが合っていますでしょうか?
間違っています。
求めたyを方程式に代入すると成立しません。

A#2に書いた手順でやれば正しい結果が得られるはずです。

途中計算を補足に書いてもらえばどこで間違いをしたかチェックします。
    • good
    • 0

bは定数ですかね?



であれば、たとえば
f(y)=-y+b/a
g(x)=a
とおくと
y'=g(x)f(y)
ですね。この形の微分方程式の解法は、微分方程式の教科書の初めの方に載っているはずです。

参考に
ご質問の微分方程式は、一様重力場中で速度に比例する抵抗を受けながら運動する質点の運動方程式などと同じ形をしています(速度vをyと置いてみる)。なので、力学の教科書などを見てもいいかもしれません。

この回答への補足

y=(b/a)(1-e^(-ax))+y0

以上のような解答になったのですが合っていますでしょうか?
よろしくお願いします。

補足日時:2009/08/31 00:10
    • good
    • 0

あなたのできるところまでの解答を補足に書いて下さい。

そして行き詰っている所について質問して下さい。

解き方
同次微分方程式
y'+ay=0
の一般解
y=
と特殊解
y=b/a
の和を求めて一般解とします。
それに初期値を適用して、一般解の定数を決めるだけです。

補足のあなたのやった解答をお書き下さい。
    • good
    • 0

あなたはこの問題を「解の公式」や「ラプラス変換」を使わないで解けますか?

    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q初期値問題とは

全くの素人ですが、「初期値問題」とは何でしょうか。
高校で微分、積分まで習いましたが、それ以外は全くの素人です。分かりやすく解説いただけないでしょうか
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ANo.1の補足についてです。

初期値と言っても、t=0での値を指定すると限ったことじゃありません。

てゆーか、t=0に限っても同じです。なぜなら、
df/dt = 1
f(3)=5
という問題は、
g(t) = f(t+3)であって、
dg/dt = 1
g(0)=5
とも表せますからね。

 微分方程式において、ある領域の端における値を指定して解を求める問題を「境界値問題」と言います。「初期値問題」は、その領域が一次元の半直線である場合の呼び名という訳です。

Q連立微分方程式の初期値問題について

連立微分方程式の初期値問題についての質問です

y1' = -18y1 -30y2
y2' = 10y1 + 17y2

y1(0) = 10
y2(0) = -6

の解の求め方を教えてください

よろしくお願いします

Aベストアンサー

y1' = -18y1 -30y2 …(1)
y2' = 10y1 + 17y2 …(2)

y1(0) = 10 …(3)
y2(0) = -6 …(4)

>解の求め方を教えてください

(1)の両辺を微分した式に、(1)のy2と(2)のy2'を代入して
y1の同次二階線形微分方程式を導出して
解く。
 y1”=6y1-y1’
 y1(t)=6e^(2t) +4e^(-3t)

次に、求めた結果の y1 と y1' を(1)に代入して
y2(t)を求める。
 y2(t)=-4e^(2t) -2e^(-3t)
 
ただ、これだけです。

Qeのマイナス無限大乗

lim(t→∞) 1-e^(-t/T)
T:定数

というのがあって、極限値が1になることは手計算で分かったのですが、
数学的に1になる理由が分かりません。

e^(-∞)=0になる理由を数学的に教えてください。

Aベストアンサー

e^(-n) = (1/e)^n
であり、
0<|1/e|<1
だから

Q自然対数の底 e を持つ対数の計算方法はどうやるんですか?

自然対数の底 e を持つ対数の計算方法はどうやるんですか?
例えば、log(7/6)や、log5などを例にして教えて下さい!

Aベストアンサー

一般的には、関数電卓で求めるのが、もっとも簡単かつ正確かつ速いです。

自然対数表から求める方法もあります。
http://www.piclist.com/images/www/hobby_elec/logarithm.htm
log(7/6) = log(7) - log(6) ≒ 1.94591 - 1.79176

また、低の変換をして、常用対数にしてから、常用対数表を用いる方法もあります。
log(5) = log_10(5)/log_10(e) ≒ 0.69897 / 0.43236
(ただ、この場合e ≒ 2.7としたので、精度はよくない)

Qエントロピー変化の計算

完全気体の圧力がPiからPfまで等温変化するときのエントロピー変化を計算せよ、という問題があります。しかしどのように計算すれば良いのか分かりません。この答えはΔS=nR*ln(Pi/Pf)だそうです。

以下は自分の考えです。
dS=dq/T と表されるのでΔS=∫(dq/T)=q/T (積分範囲はi→f)となり、熱を求めようと思いました。
等温変化なのでΔU(内部エネルギー変化)=q+w=0 (q:熱 w:仕事)が成り立ち、q=-wとなり、仕事を求めばいいと思うのですがどのようにwを求めていいのか分かりません。圧力一定で、体積が変化する場合なら求められるのですが・・・。

どなたかお分かりになる方、教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数だからです)
そして今dT=0より、結局pdV=-Vdp 状態方程式でVをpであらわし
よって、∫dS=∫pdV/T=∫-Vdp/T=∫-(nR/p)dp
=-nR[logp](p=pi~pf)
=nRlog(pi/pf)

余談ですけど、なぜ可逆過程なのにエントロピー変化があるのかというと、ひとつは、断熱系と混同しがちだからです。dS≧dQ/Tというのが、一番基本的なものなのです。断熱系dQ=0の場合のみdS≧0となりエントロピー増大則になります。また
等温変化の可逆過程では、dS=dQ/Tと、=になりましたけど、
これを高熱源や低熱源を含めた全体の系に適用すると、全てを含めた全体は断熱系になっているから、
dQ=0より、エントロピー変化はありません。
質問の場合なら、一見エントロピーはΔS=nR*ln(Pi/Pf)
と増加しているようですが(膨張を過程),それは気体のエントロピーのみ考えているからであり、
完全気体が高熱源から準静的に熱量Qをもらっている
はずで、逆に言うと高熱源は熱量Qを失っています。
だから、高熱源はエントロピーQ/Tだけ失っているから
完全気体と高熱源をあわせた系のエントロピー変化は
-Q/T+nR*ln(Pi/Pf)=0となって、結局全体で考えれば
エントロピー変化はありません。カルノーサイクル
の例も一応挙げとくと、
高熱源のエントロピー変化量:-Q/T1
低熱源〃:(Q-W)/T2
ですけど、カルノーサイクルの効率は1-(T2/T1)より
W=Q(1-T2/T1)∴低熱源:Q/T1となって、高熱源と低熱源
をあわせた系全体のエントロピーの変化はありません。

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q断面一次モーメントについて。

昔の記事をみたら断面二次モーメントについては見つかり、
距離の二乗と微小面積の積をかけたものの積分というような理解を
したのですが、それ以前に断面一次モーメントがわかりません。
今、材料力学という科目で演習問題を解いているのですが、理解できません。
図心は一次モーメントを断面積で割ったものが一般的ということですが
それすらも何故だかわかりません。

例題として三角形断面の図心cのZ1軸(底辺をx軸方向に伸ばした軸です)
からの位置、図心cを通るz軸に関する断面二次モーメントを求めよ。
という問題を考えています。この三角形の断面一次モーメントが底辺b
高さhとしたときb(h二乗)/6となるみたいですがそれが何故だかが
わかりません・・。

三角形ですから重心は既知ですからこうなるのは納得しますが、積分から
のもってき方がわからないのです。

どなたか教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

#2です。

 問題を積分してみました。
底辺周りの断面1次モーメントを求めてみましょう。
まず、底辺からの距離をxとします。
底辺からxだけ離れた位置の、底辺に平行な線の長さをLとします。
この長さLは、以下の式で表せます。
 L=(h-x)・(b/h)

さて、断面1次モーメントというのは、この長さL(微少な部分の面積)
と距離xを乗じたものを、高さ方向に積分すればいいことになります。

 ΔQ=L・x=(h-x)・(b/h)・x
   =-b/h・x^2 + bx

これをxを0~hまで積分してみましょう。

 Q=∫-b/h・x^2 + bx dx

  =[-(b/3h)x^3 +(b/2)x^2] 0~h

  =-(b/3h)h^3 +(b/2)h^2

  =-bh^2 / 3 +bh^2 / 2

  = bh^2 / 6

となります。


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング

価格.com 格安SIM 料金比較