無限級数

nの階乗分のnのk乗(kは自然数)のリッミトがわかりません

No.3 ベストアンサー 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2003/04/24 00:03

すでに指摘があるように，問題があいまいですが，

ひょっとすると
lim_{n→∞}n^k／n!　（kは自然数の定数）
でしょうか．
そうだとすると結論は０です．
n→∞のときｋ次関数よりも階乗n!の方が発散が"速い"というお話でしょう．

証明はそのままやる手もあったはずで
nが十分大きい(n＞ｋ)ときとして十分で，n!を始めのk項と残りに分けて
n!＝n(n-1)(n-2)・・・(n-k+1)・(n-k)!
とみて，
lim_{n→∞}n^k／n!
＝lim_{n→∞}{n^k／n(n-1)(n-2)・・・(n-k+1)}*{1/(n-k)!}
＝lim_{n→∞}[1／1(1-1/n)(1-2/n)・・・{1-(k-1)/n}]*{1/(n-k)!}・・・（１）

ここで，n→∞とすると，最初の因子[・・・]は１に収束し，{1/(n-k)!}→０
よって全体は→０で，
（１）＝０
となります．

他には，n^k／n!の自然対数をとって
klogn－Σ_{m=1～n}logm
ともに発散して不定形（∞－∞）ですが，第１項よりも第２項の方が発散が速いことは，例えば積分を使って評価すると示せます．

Σ_{m=1～n}logm＝Σ_{m=2～n}logm＞∫_[1～n]logXdX＝n(logn－1) （←ずれてないか要チェック）
から

klogn－Σ_{m=1～n}logm
＜klogn－n(logn－1)＝－nlogn(1 －k/n　－1/logn)→－∞*1＝－∞

よって元に戻って　n^k／n!→e^(－∞)＝０です．

No.2 回答者： mmky 回答日時： 2003/04/22 00:31

参考程度に

ibm_111さんの補足要求がありますように質問が少し不明な点がありますね。

lim[n→∞]Σｎ＾k/n!
が収束するかどうかであれば、
判定手段を使えば、前後の値の比を取れば、
{ｎ＾k/n!}/(ｎ-1)＾k/(n-1)!=(1/n){n/n-1}＾k
=(1/n){n/n-1}＾k=(1/n){1/1-(1/n)}＾k
n→∞
(1/n){1/1-(1/n)}＾k→0
ということでkの値に関係なく収束はしますね。
一方、収束値ということであればちょっと面倒ですね。
lim[n→∞]Σｎ＾k/n!＜∫[0→∞]x＾k/x! dx
の計算ですね。
面倒なので近似で考えると、
k≪ｎ　の場合は、
≒∫[0→∞]1/(x-ｋ-1)! dx
(x-ｋ-1) =z, dx=dz
z!=√{π/sin(πｚ)}
=∫[0→∞]1/√{π/sin(πｚ)} dz
の感じになりますね。
ということですかね？
ずれているかもね。

No.1 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/04/21 21:12

どの文字をどこへ(つまり、無限大とか1とか0とか）リミットを取るのですか？