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dy/dx=-x/yの微分方程式を解く問題があるのですが
どのようにしてとくのか意味が解りません
誰か教えていただけないでしょうか

gooドクター

A 回答 (3件)

この微分方程式は、「変数分離型」の微分方程式の典型的な問題の一つです。


微分方程式についての教科書には必ず載っているはずです。書籍を参照もしてみてください。

たとえば、

dy/dx=f(x)/g(y)

という微分方程式を

g(y)dy = f(x)dx

というように変形し、両辺で積分することで微分方程式を得ることができます。

∫g(y)dy = ∫f(x)dx



G(y) = F(x) + C

Cは積分定数、G(y)=g'(y), F(x)=f'(x)です。

厳密な理論に基づいて考えると、突っ込みどころ満載なのですが、
ただ解くのが目的であればこれでよいと思います。

質問の場合は、上に於いて

g(y) = y
f(x) = -x

としたときですので、

結局答えは、

(1/2)y^2 = -(1/2)x~2 + C

    ↓

x^2 + y^2 = C

になります。

境界条件が存在する場合は、それを答えの式に代入してCを求めてください。

初期値が与えられていれば、ラプラス変換という手法を用いて解くことも可能です。
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この回答へのお礼

ありがとうございます
回答を書いていただけたので照らし合わせて確認できました

お礼日時:2009/09/23 18:21

dy/dx の形をしていない dx とか dy とかが何者だか


ご存知ですか? 解って使うのなら、構わないのですが。
初等的には…

dy/dx = -x/y は、(dy/dx)y + x = 0 かつ y ≠ 0 と同値。
この式を x で積分して、(1/2)y^2 + (1/2)x^2 = 定数 となる。
初期条件から、右辺の定数を求めれば終わり。
∫y(dy/dx)dx = (1/2)y^2 + 積分定数 は、解りますね?
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変数分離します。


形式的にdy/dxを分数と考えて
ydy=-xdx
つづいて両辺に積分記号を書き加えて積分すれば微分方程式が解けます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%89%E6%95%B0% …
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この回答へのお礼

めちゃめちゃ早い回答ありがとうございます
助かりました

お礼日時:2009/09/23 18:10

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