これは正しいのでしょうか？（分野：2次関数）

先日、予備校の先生が以下のようなことを板書していました。

　y=ax＋a＾2－5={a＋(x/2)＾2}－x＾2/4－5なので
　y=ax＋a＾2;－5とy=－x＾2/4－5は常に接する。

この板書は、包絡線の講義で書いていました。
このことは、本当に成り立つのでしょうか？
どなたか、詳しくお教えください。

No.3 ベストアンサー 回答者： f272 回答日時： 2009/09/24 12:29

> ax+a^2-5と-x^2/4-5の差は{a+(x/2)}^2です

ax+a^2-5={a+(x/2)}^2-x^2/4-5と書いています。移項すれば
(ax+a^2-5)-(-x^2/4-5)={a+(x/2)}^2

> これ=0は重解を持ち

{a+(x/2)}^2=0を(x/2+a)^2=0とすると分かるだろうか？
x/2+a=±√0になるけど右辺はやっぱり0で，プラスもマイナスも同じです。これが重解ということ。

> y=ax+a^2-5とy=-x^2/4-5は常に接する

一つ目の式は直線，二つ目の式は放物線で，この直線と放物線の交点のx座標は，ax+a^2-5=-x^2/4-5を解けばよい。
ところが(ax+a^2-5)-(-x^2/4-5)={a+(x/2)}^2が重解を持つ，言い換えると解は1つということは既に分かっています。
つまり，直線と放物線の交点というか，共有している点はただ1つしかないということで，それはとりもなおさず接するということに他なりません。

この回答へのお礼

大変わかりやすいご回答、ありがとうございました。

お礼日時：2009/09/24 22:57

No.2 回答者： f272 回答日時： 2009/09/24 11:03

多分，板書していたのは

　y=ax+a^2-5={a+(x/2)}^2-x^2/4-5なので
　y=ax+a^2-5とy=-x^2/4-5は常に接する。
と言う事でしょうね。
上の式からax+a^2-5と-x^2/4-5の差は{a+(x/2)}^2ですから，当然これ=0は重解を持ち，y=ax+a^2-5とy=-x^2/4-5は常に接することは明らかです。

この回答へのお礼

　y=ax+a^2-5={a+(x/2)}^2-x^2/4-5なので
　y=ax+a^2-5とy=-x^2/4-5は常に接する。

すいません。f272様のおっしゃる通りです。
それと、少し疑問なのですが、

差は{a+(x/2)}^2ですから，当然これ=0は重解を持ち，y=ax+a^2-5とy=-x^2/4-5は常に接することは明らかです。

というのが分かりません。
もう少し詳しく説明していただけませんでしょうか？

お礼日時：2009/09/24 11:19

No.1 回答者： loboskobay 回答日時： 2009/09/24 03:00

＞y=ax＋a＾2－5={a＋(x/2)＾2}－x＾2/4－5なので

上の等式が成り立ちませんよ。a と x に適当な値を入れて計算すれば直ぐに確認できます。

　a x+a^2-5 == (a+(x/2))^2- x^2/4-5,

です。でも、この等式が成り立つからといって下のことが言えるとする理屈は理解できま
せん。何か途中で大きく抜けていませんか？

＞y=ax＋a＾2－5とy=－x＾2/4－5は常に接する。

0 == ax＋a＾2 + 5 -(-x＾2/4-5) = x^2 1/4 + a x + a^2

の根は

-a ± √( a^2 - 4 1/4 a^2 )
------------------------------ == -2 a
2 1/4

と重根になっていることから「常に接する」ことは正しいと言えます。