sinθcosθ

[問題]
0≦θ≦π/2　かつsinθcosθ＝1/4　とする。さらに、sinθ＞cosθとするとき、次の式の値を求めなさい。ただし、途中式を書くこと。

この問題の解き方の手順がちんぷんかんぷんです。作問者が言うには、「ずいぶん意地悪な問題ですよ。」ということなんですが... 教科書通りにやると絶対つまづくみたいです。　　　どなたか、解き方を教えていただきたい。

No.4 ベストアンサー 回答者： -somebody- 回答日時： 2009/09/24 12:33

数I・Aの範囲で解ける問題だと思います。

sin^2θ+cos^2θ=1を利用する問題ですね。
(x^aはxのa乗を表します。つまりsinθの二乗+cosθの二乗=1ということです)
まず
(1)sinθ＋cosθ　
ですが
(sinθ+cosθ)^2=sin^2θ+cos^2θ+2sinθcosθ
上記のsin^2θ+cos^2θ=1と
sinθcosθ＝1/4
より
(sinθ+cosθ)^2=1+1/2=3/2
sinθ+cosθ=±√(3/2)
となります。

0≦θ≦π/2
なので
0≦sinθ
0≦cosθ
だから当然
0≦sinθ+cosθ
ということで
sinθ+cosθ=√6/2
となります。



(2)sinθ
と
(3)cosθ
これは同時に答えが出ます。
(1)で得られた
sinθ+cosθ=√6/2
sinθcosθ=1/4　
この二つの式からsinθとcosθが得られます。

具体的には
cosθ=√6/2-sinθ
を
sinθcosθ=1/4に代入して整理してやると
sin^2θ-√6/2sinθ+1/4=0
両辺を四倍すると
4sin^θ-2√6sinθ+1=0
二次関数の解の公式を使ってやると
sinθ=(√6±√2)/4
あとは
条件のsinθ>cosθを満たすsinθがどちらかを決めてやればよいわけです。

sinθ=(√6-√2)/4のとき
cosθ=(√6+√2)/4
これだとsinθ<cosθとなって不適

sinθ=(√6+√2)/4のとき
cosθ=(√6-√2)/4
これはsinθ>cosθとなって条件を満たすので

(2)
sinθ=(√6+√2)/4
(3)
cosθ=(√6-√2)/4

ですね。

はじめに
sin^2θ+cos^2θ=1
これを思い出せないとつらいかもしれません。

No.6 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/09/24 13:16

sinθ＝a、cosθ＝bとすると、条件から、ab＝1/4、a≧0、b≧0、a＞b、a＾2＋b＾2＝1.

a＾2＋b＾2＝（a＋b）＾2-2ab＝（a＋b）＾2-1/2＝1　より、a＋b＝√6/2.
又、aとbは　t＾2－（√6/2）*t＋1/4＝0の2つの解。
これを解くと、a＞bから、a＝（√6＋√2）/4、b＝（√6-√2）/4。
これらの値は、確かに条件を満たすから、求める解である。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/09/24 13:11

えぇと.... どこが意地悪なんだろう. あえて言えば「ずいぶん意地悪な問題ですよ。

」とかほざいてる作問者が意地悪だけど.
ちなみに sin θ cos θ = 1/4, sin θ + cos θ = √6/2 から
sin θ, cos θ は二次方程式 t^2 - (√6/2)t + 1/4 = 0 の 2解
とする (解と係数の関係) 手もある.
確かに sin^2θ+cos^2θ=1 が出てこないと手も足も出ないけど＞#4, これは非常に基本的な式だから出てこないといずれにしても全滅は避けられないと思う.
作問者がどのような解答を期待しているのかを知りたい.

No.3 回答者： gerard1981 回答日時： 2009/09/24 12:28

inθ=s, cosθ=c とします。

(めんどいので)

(1)
(s+c)^2=1+2sc=1+2*(1/4)=3/2
⇒s+c=√6/2　(θの定義域から、s,cともに正なので)

(2)および(3)
sc=1/4からc=1/4s(sc≠0から、s,cともに0ではないので)
s+1/4s=√6/2
⇒s^2-(√6/2)s+(1/4)=0・・・(*)
⇒s=(√6±√2)/4
これをc=1/4sに代入して有理化すると
(s,c) = ((√6+√2)/4,(√6-√2)/4)),((√6-√2)/4),(√6+√2)/4))

で、s>cなので前者が答え、となると思います。

θの値に幅広く対応できるように方程式を作って解きましたが、
(1/2)sin2θ=1/4　からθを求めて半角の公式、ってやり方でもいけるはずです。

どの辺が意地悪なのかよく分かりません。
もしかしたら、僕もその意地悪にひっかかってるかもしれませんが、素人の意見です。

この回答へのお礼

細かくご意見ありがとうございました。　教科書に載っていなかったので助かります。　　参考にします。

お礼日時：2009/09/24 12:51

No.2 回答者： ybnormal 回答日時： 2009/09/24 12:27

宿題のようなので、ヒントだけ出します。

（1）とりあえず2乗してみれば？
（2）、（3）は（1）ができれば単純な二次方程式として解けます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。参考にします。

お礼日時：2009/09/24 12:48

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/09/24 11:38

「次の式」によるのでは?

例えば, 「次の式」が sin 2θ ならそんなに意地悪じゃないですよね.

この回答への補足

すみません。つけたします。
(1)sinθ＋cosθ　　　(2)sinθ　　(3)cosθ　　　でした。

補足日時：2009/09/24 11:52