正七角形って書けますか？

仕事場で、たわいもない話から正七角形って書けるか書けないかで、論争になっています。書けるのならその証明方法も教えて下さい？

No.11 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2003/04/25 22:41

既に同趣旨の質問があり，

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=40706
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=210553
に回答が出ています．
本質的に Mell-Lily さんのご回答と同じです．

n=2^2^p+1 (p は自然数)という形をした素数はフェルマー素数と呼ばれています．
p=0 の３，p=1 の５，p=2 の１７，p=3 の２５７，p=4 の６５５３７
が知られています．
p=5 は 641×6700417 と分解出来るのを Euler が発見しています．
他にフェルマー素数があるかどうかはわかっていないと思います．

通常の作図のルール(定規とコンパス)で作図できる演算は，
四則と平方根であることがわかっています．
したがって，正ｎ角形(半径１の円に内接としましょう)が作図できるかどうかは，
一辺の長さが四則と平方根で表されるかどうかにかかっています．
別の表現では，複素数 z に関する方程式 z^n = 1 の解が四則と平方根で書けるか
どうかと言うこともできます．
ｎが大きくなれば３乗根，４乗根，...が必要になりそうですね．
大体そうなのですが，たまたま平方根(２重根号，３重根号，...でもＯＫ)＋四則
だけで表現できる場合があって，それが上で紹介したスレッドや Mell-Lily さんの
話です．

この回答へのお礼

皆さん、ありがとうございました。いろいろな意見をプリントして、持っていってみます。

お礼日時：2003/04/27 08:54

No.10 回答者： Mell-Lily 回答日時： 2003/04/25 19:47

18世紀から19世紀にかけて活躍した、ドイツの数学者ガウス（Johann Carl Friedrich Gauss, 1777.4.30～1855.2.23）は、定規とコンパスで作図できる正p角形（pは、素数）は、

　p=2^2^n+1, n=0,1,2,…
という形をした素数に限られることを証明しています。このことから、定規とコンパスで作図することができる正多角形は、xを
　x=2^n×3^a×5^b×17^c×257^d×65537^e…, n=0,1,2,3,…, a,b,c,d,e,…=0,1
という形をした自然数xとして、正x角形に限られることになります。定規の代わりに、目盛付き定規を用いれば、正7角形や正9角形が作図可能になります。

参考URL：http://www.mcc.pref.miyagi.jp/people/ikuro/koram …

No.9 回答者： noname#5179 回答日時： 2003/04/25 19:04

正5角形なら、1辺1の場合、対角線が、（√5-1）/2ということを知ってれば、まずその長さを作ってから、かけます。

正7角形の場合も、対角線の長さがわかれば書けると思います。
具体的には、正7角形ABCDEFで、１辺1とした場合の、ACの長さがわかれば書けます。たとえ、ややこしいルートがたくさんある式でも、定規とコンパスで書けます。sinとかcosとかが入るとだめですが。
で、ACの長さっていくらになるんでしょ。

No.8 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/04/25 18:54

正五角形の作図は昔は中学の技術で習いました。

今でも教えているかどうかは知りません。

正七角形は作図できません。

ところが正１７角形が作図できることは有名です。
実際に自分が書き方を知っているかどうかは別です。

「２＾（２＾ｍ）＋１の形の素数のときはできる」という
ことが発見されています。

下のＵＲＬ

参考URL：http://www.mcc.pref.miyagi.jp/people/ikuro/koram …

No.7 回答者： gator 回答日時： 2003/04/25 17:43

まず、ルールですが、

定規とコンパスだけを使うということですね。だから、
分度器は使わない。それから、定規の目盛りも使いません。

で、確かに正7角形はかけません。でも、正5角形はかけたと
思います。近似でなく。

今、yahooで検索してみました。「正多角形、定規、コンパス」
で、やっぱり画けるみたいです。

参考URLをご覧下さい。

以上

参考URL：http://web2.incl.ne.jp/yaoki/takaku.htm

No.6 回答者： Nishikino 回答日時： 2003/04/25 16:34

↓#5ですが、ちょっと頓珍漢な答えをしてしまいました。

気にしないで下さい。

No.5 回答者： Nishikino 回答日時： 2003/04/25 16:22

３６０度を７では割り切れない（商 51.428571…）ので、正確には描けないと思います。

だいたいでよければ描けますが。

No.4 回答者： yasuhiro99 回答日時： 2003/04/25 16:20

理論上はかけないと思いますが、

実際には「書ける」といったレベルでしょうか（笑）
厳密にはかけていないでしょうけど・・・

URLに書き方が書いています。

参考URL：http://www.nmri.go.jp/eng/khirata/mechdesign/ch0 …

No.3 回答者： arukamun 回答日時： 2003/04/25 16:12

正七角形は書けません。

ただ、疑問に思ったのですが、正五角形は書けるという事になっているのでしょうか？
書けると言っている人は分度器を使っている可能性があります。図形を図示する際の道具に分度器はルール違反の様な気がします。
基本的に使っていいものは直線が描ける定規（目盛りなし）とコンパスだけです。（ギリシャの三大作図問題）

No.2 回答者： shy00 回答日時： 2003/04/25 16:05

出来ないらしいです

http://www.mcc.pref.miyagi.jp/people/ikuro/koram …

ですが
http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/javaii/h …
近似図形はこんな感じでかけるらしいです