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初歩的な質問で、すみません。
問題集を何度も読んだのですが、全く理解できなかったので質問させていただきます。

lim(x→1+0) x/(x-1)…(1)
lim(x→1-0) x/(x-1)…(2)
lim(x→0) e^(1/x)…(3)
lim(x→-∞) e^(1/x)…(4)

(1)~(4)の極限を求める問題があったのですが、(1)はlim(x→1+0)1/(x-1) = ∞,(2)はlim(x→1-0)1/(x-1) = -∞,(3)右極限:x→+0のとき,1/x→∞,∴e^(1/x)→∞.左極限:x→-0のとき,1/x→-∞,∴e^(1/x)→0.よって(3)の式は存在しない.
(4)はx→-∞のとき,1/x→0. ∴e^(1/x)→e^0=1.
という答えが書いてありました。
ですが、何故∞が出てくるのかが分からず(全てにおいてです)、(4)では-∞を代入して求めていいのかも分かりません。∞/∞の形がよく解っていないので、教えていただけると有難いです。

A 回答 (2件)

まず、(1)ですが、x→1+0とは、xを…→10→9→…→2→1のように、1より大きい側から1に近づけていく場合の極限を表します。

ですので、たとえば、x=2⇒(1)=2/1、x=1.5⇒(1)=1.5/0.5=3、x=1.1⇒1.1/0.1=11、以下、xが1に近づくと、極限値がどんどん大きくなることがわかります。極端な話、x=1.000001などとすると非常に大きな値になります。よって、(1)の極限は+の無限大に発散する、となります。
(2)も同様に考えます。今度は、xをマイナス側から1に近づけるので、分母が常に負になることに注意してください。したがって、(1)とは逆に、-の無限大に発散します。
(3)では、まず、x→+0(プラス側から0に近づける)ときには、eの指数部分が+の無限大に発散しますので、e^(1/x)もやはり+の無限大に発散します。x→-0のときには、eの指数部分が-の無限大に発散しますので、e^(1/x)は0に収束します。右極限と左極限が一致しないため、極限値はなしとなります。
(4)は、回答のとおりです。

補足
この問題には∞/∞はでてきていないのですが、この形と0/0になる形は不定形と呼ばれていて、収束、発散が明らかでないものになります。このときは、多くの場合、分子分母の約分またはロピタルの定理の適用により極限値を求めることができます。
「右側、左側からの極限」の回答画像2
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この回答へのお礼

わかりやすい説明、ありがとうございます。
理解力のない私ですが極限について朧気ながら納得できました。
ご回答、ありがとうございました。

お礼日時:2009/10/01 10:31

(1),(2)はグラフが描ければわかりやすいのですが、


x→1±0の極限がわかりにくければ、x-1 =aすなわち x=a+1とおきます。
すると、x/(x-1) =(a+1)/a =1+1/aと変形できます。
y=1/aのグラフを考えると、x→0の左極限は-∞、右極限は+∞となります。

(3),(4)は、まず 1/xの極限値を考えるところからスタートしているのはわかると思います。
(3)は「x→0」と左極限・右極限の指定がないので、それぞれでの値が同じになるかを検証しています。
(4)は、回答のとおり 1/x→0となるので、e^(1/x)→1となります。

x→∞や x→-∞の極限を扱う場合には、
左極限か右極限「しか」ないので左右での値が同じといった検証は不要になります。
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「雰囲気がするときのみ調べる」のではなくて、取り敢えずは、明らかでない場合は常に調べるようにした方が良いと思います。
特に、今回の例題のようなx → a で f(x) / g(x) の極限を調べる場合において、g(x) が連続で g(a) = 0 ならば、 x = a を境に g(x) の符号が変わる可能性はかなり高く、 x → a で f(x) / g(x) → ? / 0 の形ならば、 g(x) の符号の変化は疑うべきことでしょう。
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●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
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立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
Si原子とO原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
tomasinoさんの言うとおり、二酸化ケイ素も共有結合の結晶の1つです。

下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
C原子の4個の価電子が次々に4個の他のC原子と共有結合して
正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
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●炭化ケイ素SiC
●二酸化ケイ素SiO2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

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x=0のとき
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f'+(0)=lim_{x→+0}{f(x)-f(0)}/x=lim_{x→+0}1/(x^2+1)=1
左微分係数
f'-(0)=lim_{x→-0}{f(x)-f(0)}/x=lim_{x→+0}-1/(x^2+1)=-1
f'+(0)=1≠-1=f'-(0)
だから
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