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閉じていると閉集合って同じ事なのでしょうか?

ベクトル空間の定義で、a,b∈V→a+b∈Vとありこれは加法が閉じていることを示しますが、この閉じているというのは閉集合と関係があるのでしょうか?

閉集合は、∀xが集合Uの境界点で、x∈Uの場合です。

閉じていると閉集合は関係あるように思うのですが、どうなのでしょうか?
同じ場合、なぜ2つの言葉で表すのでしょうか?使い分け方などあるのでしょうか?

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A 回答 (4件)

No.1


>閉集合は、ユークリッド空間では、コンパクトになると思います。
これは間違い.
ユークリッド空間の場合は「有界かつ閉集合がコンパクト」.
一般の完備な距離空間の場合は
「全有界かつ閉集合」が「コンパクト」です.

位相的な「閉」と代数的な「閉」は直接には関係ありません.
No.3さんのご指摘の「内部の操作が外に出て行かない」という
意味で「閉」といっているのでしょう.
ほかにも「閉じている」と表現されるものはあります.
たとえば「閉形式」(closed form)なんてのもあります.
これもやっぱりある種の演算で「外にはみ出さない」性質を持ちます.

ちなみにNo.3さんのいう「代数的閉集合」というと
「代数的閉包」があるので語弊があるかもしれません.
「代数的に閉じている」というと,文脈に依存しますけど
「代数方程式の解がその係数体に存在する」と解釈されるでしょう.
ちなみにこの場合も「方程式の解をとる」という操作で
中からはみ出さないので「閉」なのです.
#例をだせば
#実数係数の代数方程式は複素数解をもちうるので閉じてないけど
#複素係数の代数方程式は複素数の中で解をもつので閉じている.
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この回答へのお礼

いつもご回答ありがとうございます。
大変勉強になります。

位相的な「閉」と代数的な「閉」は直接には関係ないのですね。
理解しました。

本題から逸れるのですが、以前アフィン空間について質問させていただきました。そちらも時間があればご回答頂けるとありがたいです。
http://okwave.jp/qa5334548.html

以上、よろしくお願い致します。

お礼日時:2009/10/19 10:40

集合が閉じているというとき、何かある操作をその集合内で


実行した場合に、その操作の結果がやはりその集合内に属する
という意味であるのでしょう。
群、環、ベクトル空間などの代数的な構造を持つ集合の場合は、
和や積などの演算という操作を行うとき、その演算結果がその
群、環、ベクトル空間内に属するとき、これらはその演算で
閉じているというのでしょう。つまり、代数的に閉じている
という意味です。
ユークリッド空間などの位相構造を持つ位相空間の場合には、
集積点を取るという操作を行ったとき、その操作結果である
集積点が、その位相空間内に属するとき、位相的に閉じている、
すなわち閉集合である、というのしょう。
代数的な集合に対しては、閉集合というのは一般的に言わない
ようですが。単に、ある演算に関して閉じているという言い方を
するのが一般的なようです。
勝手に言葉を作ると、代数的な集合の場合は代数的閉集合、
位相的な集合の場合は位相的閉集合とでも言いましょうか。
要するに、閉じているというのは、集合内で活動しても、集合の
外に脱出することができない、というイメージでしょうか・・・
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

理解できました。ありがとうございます。

お礼日時:2009/10/19 10:42

 位相的に閉じている集合=閉集合



という事になると思います。

>ベクトル空間の定義で、a,b∈V→a+b∈Vとありこれは加法が閉じていることを・・・

は、Vが「加法」について「代数的に」閉じているという事です。

 「閉じている」「閉である」は、状況に応じてちょっといい加減に(つまり慣用句として)使われる場合も多いと思います。

  例えば、完備な集合は、コーシー列の極限に関して閉じている(と言われるかも知れない).

  測度論の方では、σ加法族は、可算無限演算について閉じている(と言っちゃう人が、いるかも知れない).

などです。ほかにも何か、いっぱいありそうですよね?。

 最後に大きなお世話ですが、
>閉集合は、∀xが集合Uの境界点で、x∈Uの場合・・・

は、ちょっと不足です(意味はわかります)。何故なら、Xを位相空間とした時、Xは常に閉集合で(定義により)、Xは境点を持たないからです。
 正確には、
  ∀のUの集積点xが、x∈U
の場合です。それが閉包の意味です。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

理解できました。ありがとうございます。

>正確には、∀のUの集積点xが、x∈U
ご指摘ありがとうございます。

お礼日時:2009/10/19 10:44

すみません。

関係があるとすら考えたことがありませんでした。

閉じている、というのは、
集合の演算結果の要素が、元の集合の要素以外にはならない、
ということを意味していると思います。

閉集合というのは、演算とかとは関係なくて、
開集合の補集合として、扱われていると思います。
閉集合は、ユークリッド空間では、コンパクトになると思います。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

閉じていると閉集合が直接に関係ないことが理解できました。

お礼日時:2009/10/19 10:46

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