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こんにちは。

量子力学についての一般向け解説書(講談社「ブルーバックス」のある1冊)をいま読んでいるのですが、その中に述べられている「確率」の考え方で、どうにも理解できないことがありました。
量子力学の考え方と関係があるのかもしれないと思ったので、こちらのカテゴリーで質問を投げさせていただきます。


そのまま引用すると長くなるので、問題箇所の要点を整理して書き直すと、

 1)A,B,C3つの箱のどれか一つに百万ドルの「当たり」が入っていて、どれを選ぶか二回決めることができる

 2)あなたは一度目の選択でAを選んだ

 3)出題者はCの箱を開けて、それがカラであることを示した

 4)さてあなたは二度目の選択でどうするか?
  (a)A,Bどちらも同じ確率だから、あえて選択し直す理由はないので二度目もAを選ぶ
  (b)Bを選び直す

…というものです。
私は、残った二つの中のどちらかが「当たり」なのだから、確率はA,Bどちらも半々だと思うので、(a)で良いと思いました。


しかしこの本の著者は
「物理学者や数学者も含め大部分の人はこの問題を最初に聞いたとき、次のように考える。『……お金の入っている確率は等しい』/しかしこれは大きな間違いである。……あなたの選択を変えるほうが完全に合理的な行為となる」

として、BのほうがAより当たる確率が2倍になると述べています。
そしてその理由を以下のように説明しています。

「……(Aに)お金が入っている確率は最初と同じで3分の1である。しかし、他の二つの箱のほうに入っていた場合、そのどちらにお金が入っているかについての貴方の無知は消滅している。最初の選択が間違っていた確率は3分の2であり、その場合、お金は中央の箱(B)にあることになる。選択を変えることで、勝つ確率が2倍になる。……」

この説明が私にはどうにも理解できないのです。
この説明を自分なりに解釈して書き直すと、次のようになると思います。

 ・最初は、Aが当たりの確率は1/3、BかCのいずれかが当たりの確率は、合わせて2/3だった。
 ・Cがカラだと判ったので、Bが当たりの確率は2/3になった
 ・したがってBのほうがAよりもを選ぶ方が当たる確率が2倍である

…ということらしいのですが、何かヘンです。納得できないのです。

Cがカラであることが判明した時点で問題は3択から2択に変化したわけだから、Aにお金の入っている確率も1/3から1/2に変化したのではないか?と思えてならないのです。

物理学にも数学にも素人の私ですので、どこかで解釈を間違うか勘違いしているのだろうとは思いますが、どこが間違っているのかが自分では判りません。

どなたか知恵をお借りできないでしょうか。よろしくお願いいたします。

gooドクター

A 回答 (3件)

質問者さんの言っている説明以上のことはなかなか申し上げられないのですが



簡単にいえば、Aだけに張るか、B&Cに張るかってことで2倍の差が出来るわけです。

初めの段階では、どれが外れかわからないので、1/3の確率で選びます。

この時点でAにある確率は1/3、B&Cにある確率は2/3となります。


では、このとき、Aのままでいるか、B&Cに張るか変えてもいいよ、と言われたとします。

どうですか?

結局はBもしくはCの空の方を開けられたとしても、BもしくはCにある確率というのは変化しません。
そこでどちらかの選択肢を空だといって外してくれたなら、残った方に2/3の確率が残ることになります。

実際に友人と実験してみるのもよいかもしれません。
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この回答へのお礼

さっそくご回答ありがとうございます。

ご回答文のはじめから
> どうですか?
の行までは解るのですが、

> 残った方に2/3の確率が残ることになります。
ここが今ひとつよく解らないのです。

Cがカラであることを示した時点で、当たりはAかBどちらかになるはずで確率は1/2になるのでは?と言う考えが頭から抜けませんでしたが、

> 実際に友人と実験してみるのもよいかもしれません。
これは良い提案を頂きました。

「解らない時にはまず実験」は自分の信条ですので、半信半疑ながら早速やってみたところ、
サイコロで当たりを決めて10回の試行をしたうち、最初に選んだケースを変えない場合は当たりが3回、変えた場合は当たりが7回になりました。

不思議だが本当だ!
でも、なぜ?

例えば1回目の選択でAを選ぶ前に、出題者がCがカラであると示して除外したとしたら、当たりはAかBのどちらかだから確率は1/2であるのは自明ですよね。
質問のように1回目にAを選んだのは仮の選択だし、それと同じ事ではないのか?と思えてならないのですが、自分の考えが間違っていることは実験ではっきりしましたので、他のご回答も参考に、よく考えてみます。

ありがとうございました。

お礼日時:2009/10/22 19:33

モンティ・ホール問題ですね。



問題を100個の箱にしてみましょう。
・Aを選んで当たる確率は1/100。
・A以外になる確率は99/100。
・出題者は答えを知っているので、99個の中から必ず当たりの箱を選べ、それを提示できる。
・出題者が提示する箱がはずれなのは99個の中にあたりがない場合のみ。
・99個の中にあたりがないのはAが正解だった時のみ。
・よって変更前では当選確率1/100だが変えると当選確率99/100。

出題者が答えを知っているというのがみそです。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ご回答のうち、
> ・出題者は答えを知っているので、99個の中から必ず当たりの箱を選べ、それを提示できる。

のところがよく理解できなかったのですが、ご回答をあれこれ考えているうちにやっと判りました。

つまり最初の問題を100個の箱から選ぶものとして、
 ・あなたは1回目の選択でAを選んだ
 ・出題者は残り99個のうちB以外の98個がカラであることを示した

なるほどこれなら、Bを選びなおした方が当たり確率が高くなることが直感的にわかります。

> 出題者が答えを知っているというのがみそです。
ようやく判りました!
答えを知っている出題者が、いわば当たる確率を凝縮してくれたわけなのですね。

ANo.2のご回答で
>>選ばれていない2つの箱のうち当たりはずれに関係なく任意の箱を一つ開ける。(それが当たりならそこでゲーム終了)
>>これであれば、質問者さんの解釈で合っています。
の意味が実は今ひとつ判らなかったのですが、これもようやく判りました。

つまり、
もし出題者がCがカラであることを示したのが偶然の結果であったとしたら、
Aが当たりの確率は1/3、Bが当たりの確率も1/3で等しい(Cが当たりの確率も1/3だが、その場合は当たりを開けてしまうのでゲームが無効になってしまうので除外される)けれども、
出題者が正解を知っていてCを開けたとすると、そこでBの確率が2/3に高まるということですね。

ああ、ようやく昨日から引っかかっていたモヤモヤがすっきりしました。
ありがとうございます。


この場をお借りして、ご回答頂いたお三方に感謝いたします。
お三方の解答を全部合わせてやっと解決できましたので全員にポイントを差し上げたいところですが、そうも行かないので、回答順とさせて頂きますが、ご了承下さい。
機会がありましたらまたどうぞよろしく。

お礼日時:2009/10/22 22:02

これはゲームのルールが不明瞭でよくわかりません。



想像できるルール1
3つのうちの一つを選んだ後に親は残りの二つのうち、外れている箱を開ける(二つともはずれの場合は、任意の1つを開ける)
その後、残りの二つの箱のうちどちらかを再度選ばせる。

そう考えると、
最初にAを選んで、しかも実はAが当たりだった場合
Bを親が開ける確率は1/2。同様にCを開ける確率は1/2。

最初にAを選んで、実はBが当たりだった場合
Cを開ける確率は1。

従って、Cを開けたとすれば、それはどちらかケースが発生していることになります。
するとCを開けた場合のうち、2/3はBが当たりになります。
逆にCを開けた場合のうち1/3はAが当たりになります。

というのが、ルール解釈の一つです。

もう一つのルール解釈は

想像できるルール2
3つのうちの一つを選んだ後に、選んだ物に関係なく、Cの箱を開ける。(Cが当たりだったらそこでゲーム終了)
または、
3つのうちの一つを選んだ後に選ばれていない2つの箱のうち当たりはずれに関係なく任意の箱を一つ開ける。(それが当たりならそこでゲーム終了)

これであれば、質問者さんの解釈で合っています。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

> これはゲームのルールが不明瞭でよくわかりません。

失礼いたしました。
前提条件を省略してしまいましたが、1回目の選択のあとで出題者は
 ・回答者が選んだ箱は開けない
 ・カラの箱を開ける
と言うことになっていますので、

> 想像できるルール1
にあたると思います。

> 従って、Cを開けたとすれば、それはどちらかケースが発生していることになります。
> するとCを開けた場合のうち、2/3はBが当たりになります。
> 逆にCを開けた場合のうち1/3はAが当たりになります。

なるほど、確かにその通りですよね。良くわかりました。

おかげさまで頭では理解できたのですが、自分の最初の考えはどこが間違っていたのかがまだ判らず、今ひとつ釈然としない想いが残っていますので、もう少し考えて見ます。

ありがとうございました。

お礼日時:2009/10/22 20:30

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