2次方程式？2次関数の問題です。。

Χの２次方程式　Χ^2-2(3m-1)Χ+9m^2-8=0が次の条件を満たすような実数ｍの値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1)相異なる実数解をもつ
(2)相異なる実数解をもち、２つの解が共に正である
(3)相異なる実数解をもち、一方の解は正、他方の解は負である

答えはわかりません。詳しく解説してほしいです。。
平方完成と判別式を使ってとく問題かと思われます。。

No.3 ベストアンサー 回答者： sohtaro 回答日時： 2003/05/04 22:10

この問題だと下のお２人が回答してる通り、解と係数の関係で解いた方が楽ですが、例えば、

「２解が共に１より大きい」なんて時はこれでは解けませんので、２次関数のグラフを利用する方法を知ってた方が良いと思います。

例として(2)を解いてみます。
２次関数の実数解は２次関数のグラフのx切片で表されます。
y=f(x)=(左辺)とおいた２次関数は下に凸の放物線となり、２解が共に正、つまりx切片が共に正になるようなグラフを実際に書いてみて下さい。で、y=f(x)がそのグラフになる為に必要な条件を、
１．判別式
２．頂点のx座標の値
３．境界値（この場合はx=0がどこに来るか）
の３点についてあげてみて、それぞれの不等式を立ててみます。

今回の場合、
１．(判別式)>0
２．(頂点のx座標)>0
３．f(0)>0
以上を満たせばいいことがわかると思います。

それぞれについて不等式を立ててみると、
１．D/4=(3m-1)^2-(9m^2-8)>0
２．(3m-1)>0
３．f(0)=9m^2-8>0
この３条件をすべて満たすmの範囲が答えです。

先ほど例としてあげた、「２解が共に１より大きい」場合だと、
１．(判別式)>0
２．(頂点のx座標)>1
３．f(1)>0
とすればいいし、
「１解が１より大きく、１解が１より小さい」場合だと、
１．(判別式)>0
２．条件なし
３．f(1)<0
とすればいいです。

いずれにせよ、しっかりとグラフの形が描けるかどうかにかかってます。
頑張って下さい。

No.5 回答者： noname#5537 回答日時： 2003/05/04 23:10

#3 sohtaro さんの書き込みに対する補足です。

> 「２解が共に１より大きい」
(α - 1) + (β - 1) > 0 かつ (α - 1)(β - 1) > 0
とすれば一応出来まする。ちょっとめんどいかも？

もちろん、いろいろな考え方を理解しておくことはよいことだと思います。
それでは emily-strange さんがんばってください。

No.4 回答者： sohtaro 回答日時： 2003/05/04 22:21

＞２次関数の実数解は２次関数のグラフのx切片で表されます。

は、正確には、
「２次方程式ax^2+bx+c=0の実数解は、２次関数y=ax^2+bx+cのグラフのx切片で表されます。」
ですね。すいません。

No.2 回答者： noname#5537 回答日時： 2003/05/04 18:07

相異なる実数解をもつためにはは判別式が正であればよいですね。

次に、
解を α, β とすると、解と係数の関係から、
　α + β = 2(3m - 1)
　αβ = 9m^2 - 8
です。

解がともに正であるためには、
　α + β > 0 かつ αβ > 0 であればよいですね。
つまり、
　2(3m - 1) > 0 かつ 9m^2 - 8 > 0
という不等式を解けばよいことになります。

一方の解は正、他方の解は負であるためには、
αβ < 0 であればよいです。

No.1 回答者： arit 回答日時： 2003/05/04 18:06

とりあえず方針を・・・

(1)は、判別式D>0
(2)は、D>0とα＋β＞０、αβ＞０（解と係数の関係）
(3)は、D>0とαβ＜０（解と係数の関係）
で、ｍの連立不等式が出ます。
では、がんばってみてください。(^_^)/