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この問題の場合、上部に小さな直円すいをつくってその体積を全体の体積から引けば答えが出ると思うんですけど、上部の直円すいの底面から頂上までの高さがわかりません!参考書によるとrになってるんですけど、なんでこうなるんですか???

「直円すい台の体積」の質問画像

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A 回答 (3件)

LM51さんの通り上部に円すい作った図を想像してください.


 その円すいを縦に二つに切り,その断面をみます.
(問題の画像の r r 2r と書かれている 直線 たちなど)
すると高さがわからない直角三角形が現れます.
そして,この直角三角形には二つの直角三角形(底辺がrのと2rの)があり,この2つは相似な三角形である(2角が等しい)
ので,その相似比は r:2r = 1:2 であります.
なのでこれを利用して 底辺が2rの直角三角形の高さ=円すいの高さ を求めれば答えは出せます.
質問されている 小さな円すいのたかさ r というのも 底辺が2rの直角三角形の高さ-rで求められます.

 まとめれば, 相似比が1:2ということは,くっつけた小さな三角すいの高さ と 底辺が2rの直角三角形の高さ が 1:2 つまり,底辺が2rの直角三角形の高さの 半分 の長さが r であるということがわかります.
なので残りの半分の長さ = 小さな円すいの高さ = r ということがわかります.
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この回答へのお礼

説明読んでやっと理解できました!!!!
ありがとうございました!!!!!

お礼日時:2009/10/25 20:52

底面の中点をOとして、半径の線と右側面とのなす角を求めることによって分かります。



底面の右側面の点をA、上面の右側面の点をBとして、Bから下に垂直線を引き、底面の半径の線が交わる点をCとすると
垂直線の長さはr、よってBC=r。
すると、当然CA=rとなるので、△ABCはBC=CAの2等辺直角三角形になります。

よって∠A=45°です。
そうすると、上部の直円すいの頂点をO’とすると、
△O'OAはO'O=OA(長さ2r)はの2等辺直角三角形になります。

よって、上部の直円すいの底面から頂上までの高さは、O'O-rより、
2r-r=rとなります。
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この回答へのお礼

なるほどーこういう考え方もあったんですね
ありがとうございました!

お礼日時:2009/10/25 20:52

>底面から頂上までの高さがわかりません!


相似比が 1:2だから
h:(h+r)=r:2r=1:2
h=r

お分かりですか?

なお体積は
V=(1/3)π((2r)^2)*(2r)-(1/3)π(r^2)*r
から計算できますね。
 
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2009/10/25 20:51

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