痔になりやすい生活習慣とは?

∫√(x^2+a)dx=1/2(x√(x^2+a)+alog|x+√(x^2+a)|)
を証明するにはどうすれば良いですか。

A 回答 (3件)

右辺を微分して左辺の被積分関数になればいいのでは?

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ちなみに、このサイトに入れて、


http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%E …
Show stepsというのを押すと、計算過程を教えてくれるんですが、
ここだと、x=√a*tan(t)と置換しているようですね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2009/11/28 02:22

x=√a*sinh(t)


と置換します。
∫√(x^2+a)dx
= ∫a*cosh^2(t) dt
= ∫a*{cosh(2t)+1}/2 dt
= a*{sinh(2t)/4 + x/2}
= … (これをxの式に戻す)

あるいは、最初に部分積分すると、ちょっとだけ計算が楽になります。
∫√(x^2+a)dx
= x√(x^2+a)- ∫x^2/√(x^2+a)dx
= x√(x^2+a)- ∫x^2/√(x^2+a)dx
= x√(x^2+a)- ∫(x^2+a)/√(x^2+a)dx + ∫a/√(x^2+a)dx
= x√(x^2+a)- ∫√(x^2+a)dx + ∫a/√(x^2+a)dx
したがって
∫√(x^2+a)dx = 1/2{ x√(x^2+a) + ∫a/√(x^2+a)dx}
右辺2項目の積分は、同様にx=√a*sinh(t)と置換します。
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この回答へのお礼

ありがとうございます助かりました

お礼日時:2009/11/28 02:21

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