ちくのう症(蓄膿症)は「菌」が原因!?

次の命題の真偽は何ですか?
「x,yは実数とする.x>0ならば,あるyについてxy>0である.」
確かにy>0のyに対してこれは成り立っていると思います.
しかし,この命題の対偶である
「x,yは実数とする.すべてのyについてxy≦0ならば,x≦0である.」
が偽であるような気がします.

反例:x=1,y=-1

ではやはり,最初の命題は偽なのですか?

A 回答 (4件)

「反例:x=1,y=-1」では反例になっていない、といっているのです。


これでは、「あるyについてxy≦0」を示しているに過ぎないのです。


対偶をまともに証明してみましょうか?
x,yは実数とする.すべてのyについてxy≦0とする。
xは実数なので、x<0またはx=0またはx>0である。
また、すべてのyについてxy≦0なので、y=-1 でもy=1でもxy≦0である。
x<0のときにはy=-1、x>0のときにはy=1とするとxy>0になるので、「すべてのyについてxy≦0」が成立しない。よってx=0。
Q.E.D.
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この回答へのお礼

ありがとうございます.
この命題(対偶)は真なので反例は関係ないのですね.
すべてのyについてxy≦0を満たすxはx≦0(x=0のとき)なのですね.
やっと分かりました.
これからもよろしくお願いします.

お礼日時:2009/10/25 17:16

>すべてのyについて成り立つわけではないので偽なのですか?



違います。対偶の文章をよく読みなさい。という意味です。
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この回答へのお礼

ありがとうございます.
すべてのyについてxy≦0を満たすxはx≦0(x=0のとき)なのですね.
これからもよろしくお願いします.

お礼日時:2009/10/25 17:15

最初の命題は真で、対偶の方も真だと思いますけれど。

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この回答へのお礼

ありがとうございます.
・・まだ分かりません.
これからもよろしくお願いします.

お礼日時:2009/10/25 17:14

>反例:x=1,y=-1



「すべての y について」って言ってるじゃん。

この回答への補足

ありがとうございます.
すべてのyについて成り立つわけではないので偽なのですか?
これからもよろしくお願いします.

補足日時:2009/10/25 11:52
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