論理的にこの確率の問題がわかりません

右の図のような碁盤の目の道路（各碁盤の目は東西間、南北間の距離はすべて等しい）がある。
甲、乙２人が、それぞれA地点、B地点を同時に出発し、甲はBに、乙はAに向かって同じ速さで進むものとする。
ただし、２人とも最短距離を選ぶものとし、２通りの選び方のある交差点では、どちらを選ぶかは１/2の確率であるものとする。
このとき、次の確率を求めよ。

１甲がC地点を通る確率。

僕の解き方はまず確率とは場合の数を全事象で割ったにすぎないのでまず、甲がC地点を通る場合の数を考えます。
よって３C1×４C２＝１８通り
よって全事象は７C３＝３５通り
よって１８/３５としました。 しかし間違いでした。

なぜこのとき方では駄目なのでしょうか？？？ 論理的に教えて下さい。

No.4 ベストアンサー 回答者： staratras 回答日時： 2009/11/01 19:36

おそらく質問者さまの解き方は以下のような発想ではないかと推察します。

１、甲がAからBまで進むためには、縦に３ます、横に4ます(合計７ます）進む必要がある。
２、Cを通るためには縦に１ます、横に２ます（合計３ます）進まなければならない。しかも縦は特定の3本のうちのどれか1本、横は特定の4本のうちの2本を通る必要がある。
３、従ってCを通る場合の数は３C1×４C２＝18通りである。
４、全事象は縦横合わせて7ます分進む中から、Cを通るまでの３ます分を選ぶ組み合わせで7Ｃ3＝35通り
５、よって確率は18/35。

上の解き方には次のような問題点があります。
まず、Cを通る場合の数は18通りもありません。縱・横のますは自由な組み合わせで選び得るのではないため３C1×４C２にならず、実際には（１）最初に縦1ます次に横2ます。（２）最初に横に1ます次に縦1ます最後に横1ます。（３）最初に横2ます次に縦１ます。3通りです。
また全事象も同様に縦に選んだますにより選びうる横のますが限定され、また後戻りができないため35通りもなく８通りです。（縦に３ます、横に４ますあるため、出発点Aおよび１つ目、２つ目めの交差点の3か所すべてにおいて縦・横の選択が可能ですから2×2×２=8通りです。）したがって求める確率は３/8

ただし、この解き方よりも、#2さまのように、Aを１として、最初に縦・横に1/2ずつ、次の交差点で(曲がれる場合は）順次1/2をかけて確率を計算する(2方向から合流する交差点では加える）樹形図のように考えたほうが、この場合は簡単ではないでしょうか。このやり方なら上記のCを通る３通りのうち、（１）＋（２）の確率が1/4、（３）の確率が1/8で、合計して求める確率は３/8であることが比較的簡単に分かります。

No.5 回答者： staratras 回答日時： 2009/11/03 10:59

#4です。

少し補足させてください。
質問者さまの解き方で（数え方を修正すれば）正解を得られたのは、この設問の範囲では、全事象8通りの一つ一つの起こり方（起こる確率）が1/8（(1/2）の3乗）ずつで等しいからです。これは交差点で縦・横を選択する確率が1/2ずつで等しいことや、Ｃを通る３ます目(3歩め）の時点で比較する際、図の大きさから3ます目(3歩め）まではどの交差点でも縦(上）か横(右）か2通り選択できるといういわば「幸運」に恵まれたためです。この「幸運な条件」が満たされない場合は、「全事象」一つ一つの起こり易さが変わってきて、正解にたどりつけません。

例えば選択の確率1/2は変えずに、問題の図が小さく縦に3ますではなく2ますしかなかった(Ｂ地点は1ます下げ、横は同じ4ます）と仮定しますと、出発点から縦→縦と進んで図の左上の角に到達した甲は横(右）に行くしかなく、全事象は7通りになります。Ｃを通るのは縦3ますの時と同じく3通りですが、求める確率は3/7ではなく、やはり3/8です。なぜならば、縦→縦→横の事象だけは、縱→縱のあとさらに縱を選ぶことはできないので、他の6つの事象それぞれの2倍起こり易い(起こる確率が2倍）からです。

また図は変えずに、縦(上）を選ぶ確率が2/3、横(右）を選ぶ確率が１/3と仮定しますと、全事象は同じ8通りで、Ｃを通るのも3通りですが求める確率は3/8にはなりません。例えば縦→縦→縦の確率が（2/3）の3乗なのに対し、横→横→横の確率は（1/3）の3乗で、全事象の起こり易さが一つ一つ異なるからです。

この2つの例のような場合は、＃２の方の解き方（樹形図のような考え方）がわかり易く、あとの例では求める確率が2/9となることが比較的容易に導けます。結論的にいえば、確率を（ある事象が起こる場合の数）／（全事象の数）で求められるのは、「すべての事象一つ一つが起こる確率が等しい」ということが前提になるということです。

No.3 回答者： notnot 回答日時： 2009/11/01 13:44

#1です。

そうですねぇ。どう説明したらわかるのかよくわかりませんが。

確率とは、「同じ条件で何度も繰り返したときに、どれくらいの割合で起こるか」ということで求めます。

例えば偏りのないサイコロを何万回も振ると、そのうちの約1/6の回数だけ1が出ます。このとき、もういちどそのサイコロを振ったら「1が出る確率は1/6」です。

今度は、偏りのあるサイコロを振って、全体の回数の半分で1の目が出たら、もういちど振ったときの「1が出る確率は1/2」です。偏りのあるサイコロであっても、「目が6通りなので1が出る確率は1/6」というのがあなたの考え方です。

サイコロの例だと実際にやってみないと確率がわかりませんが、この問題のようなケースだと計算で求められます。

No.2 回答者： osu_neko09 回答日時： 2009/11/01 13:43

こういう通りを考えて見ましょうか。

南北方向には１つのブロックしかありません。
+--+--+--+--+--+--+
|　　|　　|　　|　　|　　|　　|
a　b　　c　d　　e　f　　g
|　　|　　|　　|　　|　　|　　|
+--+--+--+--+--+--+


「あり得る道筋を全部等確率で選ぶとき」はa～gまでを同じ確率で通るのですが、問題である「それぞれの交差点で(右に行くか上に行くかを)1/2で選ぶとき」には、まずスタート地点で上に行くか右に行くかを1/2づつの確率で選ぶので、a地点を1/2の確率で通るのです。b地点は、スタート地点で右、次の交差点で上に行くので(1/2)*(1/2)=1/4、同様にc地点は1/8、d地点は1/16...

問題の場合は、こうなる、というわけです。
　　(1/8)--1/8--(5/16)-5/16-(　　1/2　　)--1/2--(21/32)-21/32--B(1)　　
　　　　|　　　　　　　|　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　　　　|
　　1/8　　　　　　　3/16　　　　　　　　　3/16　　　　　　　　5/32　　　　　　　　11/32
　　　　|　　　　　　　|　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　　　　|
　　(1/4)--1/8--(3/8)--3/16-(　　3/8　　)--3/16-(　　5/16)--5/32-(11/32)
　　　　|　　　　　　　|　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　　　　|
　　1/4　　　　　　1/4　　　　　　　　　　3/16　　　　　　　　1/8　　　　　　　　　3/16
　　　　|　　　　　　　|　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　　　　|
　　(1/2)--1/4--(1/2)--1/4-C(　　3/8　　)--3/16-(　　1/4)--1/8--(3/16)
　　　　|　　　　　　　|　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　　　　|
　　1/2　　　　　　1/4　　　　　　　　　　1/8　　　　　　　　　1/16　　　　　　　　1/16
　　　　|　　　　　　　|　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　　　　|
A(　　1　　)--1/2--(1/2)--1/4--(　　1/4　　)--1/8--(　　1/8)--1/16-(1/16)

No.1 回答者： notnot 回答日時： 2009/11/01 12:01

あなたの解答は、「あり得る道筋を全部等確率で選ぶときのCを通る確率」ですが、これは問題である「それぞれの交差点で(右に行くか上に行くかを)1/2で選ぶ場合のCを通る確率」とは全く別なので、間違いです。

この回答への補足

notnotさんやはり、「あり得る道筋を全部等確率で選ぶときのCを通る確率」ですが、これは問題である「それぞれの交差点で(右に行くか上に行くかを)1/2で選ぶ場合のCを通る確率の違いがわかりません。馬鹿ですいません。

補足日時：2009/11/01 12:40