中間値の定理をつかった問題について教えてください

問:　x^x-2x = 0 は 1/3 < x < 1/2 の間に少なくとも１つの解を持つことを示せ

教えていただきたいのは上の問です

解:　f(x) = x^x-2x とおくと

f(1/3) = (1/3)^(1/3)-2/3 > 0 …*

f(1/2) = (1/2)^(1/2)-2*1/2 = (1/√2)-1 < 0

よって中間値の定理より、ある a∈(1/3 ,1/2) が存在して

0 = a^a-2a を満たす　　■


*のようになると思うのですが、自分にはお手上げです。

よろしくおねがいします。 ( 1 < 3√3とか使いますか? )

No.3 ベストアンサー 回答者： Lokapala 回答日時： 2009/11/03 00:45

*の式についてです。

f(x)=x^x-2x=x{x^(x-1)-2}
x=1/3を代入して、
f(1/3)=1/3*{(1/3)^(1/3-1)-2}=1/3*{(1/3)^(-2/3)-2}=1/3*{3^(2/3)-2}=1/3*{9^(1/3)-8^(1/3)}>0

見づらいですが、これが解答です。9^(1/3)-8^(1/3)＞0となりますが、指数を合わせることによって比べることができてます。

この回答へのお礼

xでくくって、指数を合わせてくらべる、、、
すごいです
こういう変形は訓練しかないんですかね?
たすかりました、ありがとうございます ^^

お礼日時：2009/11/03 20:53

No.2 回答者： R_Earl 回答日時： 2009/11/03 00:34

(1/3)^(1/3)-2/3 > 0の真偽を知りたいのでしょうか？

(1/3)^(1/3)-2/3 > 0が成り立つなら
(1/3)^(1/3) > 2/3が成り立ちます。
指数が分数なのがやっかいなので、これを消すことを考えます。
(1/3)^(1/3) > 2/3の両辺を3乗すると

1/3 > 8/27

よって(1/3)^(1/3)-2/3 > 0は正しいということになります。

この回答へのお礼

三乗するだけでよかったのですか
なんで気がつかなかったんだろうorz

回答ありがとうございます

お礼日時：2009/11/03 21:03

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/11/03 00:33

x と y を正の数とすると

x < y if and only if x^(1/3) < y^(1/3).

この回答へのお礼

正の数なら三乗しても不等号の向きは変わらないのですね
1を境に変わりそうに思ってしまう自分はアホですｗ
ありがとうございます

お礼日時：2009/11/03 21:10