正八面体の回転体の体積

辺６ｃｍの正八面体をテーブルの上で回転させた
ときの体積を求めてくるように言われたのですが、
これは一ヵ所に固定した状態での回転体の体積を
求めればよいのでしょうか。

そう思って解いていたのですが、ふと転がしたとき
の体積のことを言っているのだろうかと不安になりました。

ちなみに、前者の回転体は二つの等しい円錐が底面の円で
重なり合った形になると思い、36√2π立方センチメートル
と求めました。

No.2 回答者： kotokototo 回答日時： 2009/11/17 11:49

1さんのおっしゃるように1つの面をテーブルに接したまま回転させた場合、

少し面倒臭いですが、高さ z での回転半径は
　r(z) = √{(1/2)z^2 - √6*z + 12}
のようになって、0≦z≦2√6 で πr^2 を積分すると
　V = 20√6π[cm^3]
になります。

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2009/11/04 19:55

テーブルの上で回転させるといっても、どこを軸にするかによって変わってきます。

正八面体の隣り合わない２頂点を結ぶ線を軸とするなら、36√2πですが、
１つの面をテーブルに接したまま回転させれば、別の答えになります。すぐには計算できないけど。