XYZ空間で、角度60°で交わる2つの平面K、Lがあり、交線sを成す。K、L上にはそれぞれ直線l、mがあり、交線sと45°、30°を成すとすると、直線lとmが成す角のうち鋭角の方をθとするとcosθはいくらになるかなとふと思ったのですが…

高校までの数学力で解ける問題ですか?ベクトルを使えばいいのでしょうか?

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A 回答 (4件)

交線sをy軸


平面Lをx-y平面
ベクトルp=(1,2,√3)-----直線l上
ベクトルq=(1,√3,0)-----直線m上
これでどうでしょうか.
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この回答へのお礼

すみません、そもそもこの条件から、ベクトルp、ベクトルqのy、z成分はどうやって定めるとよいのでしょうか?図を描くしかないですか?

お礼日時:2009/11/04 22:48

直線l,mの方向余弦を各々(a1,b1,c1),(a2,b2,c2)とすると2直線のなす角θは


θ=cos(-1)(a1*a2+b1*b2+c1*c2)
ここにcos(-1)はcosの逆関数である。
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この回答へのお礼

回答有難うございます。読みましたが、文系なので逆関数はあまり知らないです(泣)
でもすごく洗練されていて無駄がないように見えます。立体図形を数式だけで考えるコツを掴みたいです。ベクトルのように。

お礼日時:2009/11/04 22:17

>... 幾何的にも出来るような気がするんですが、ベクトルでするにしてもどんな成分にすればいいのか分かりません。

基本ベクトルで考えればいいのでしょうか。

なるべく勘定し易い「幾何的」にするのが良さそう。

一例。
 ・交線s を Z軸、平面K を X-Z平面に合わせる。
 ・題意を満たす向きの直線l、m を想定し、原点からの単位ベクトル座標を求める。
 ・その単位ベクトルのペアで内積を勘定。
…としたら、いけませんでしょうか。
  

この回答への補足

違っていました。再考してみます。

補足日時:2009/11/04 22:36
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この回答へのお礼

有難うございます。原点をO、交線sをx軸正方向にとり、その上にあって長さkの点A(k、0、0)をとり、そこからs軸に垂直な線をm、lに引いて交点をそれぞれB、Cとして三角錐O-ABCを作ると,cosθ=OB/OC
=(2k/√3)/√2k
=2/√6 と値が出ました。 ベクトルでも案外簡単でした。アドバイス有難うございました!

お礼日時:2009/11/04 22:14

>ベクトルを使えばいいのでしょうか?



内積演算でできませんかね。
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この回答へのお礼

回答有難うございます。やはりベクトルですかね。幾何的にも出来るような気がするんですが、ベクトルでするにしてもどんな成分にすればいいのか分かりません。基本ベクトルで考えればいいのでしょうか。

お礼日時:2009/11/04 20:50

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縦辺 a
横辺 b
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=a^2/a^2+b^2+b^2/a^2+b^2
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これと(い)を足したものが180°なので
 180-75=105

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(2)次の式を簡単にせよ。
cos(θ-90°)sin(θ+180°)-cos(θ-180°)sin(θ+270°)=□

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1
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π/3≦θ+a≦π+a<3π/2の範囲で
|y|≦1を満たすθの範囲は
π/2≦θ≦(3/2)π-2arccos(1/√5)
このとき
1≧sinθ≧-cos(2arccos(1/√5))=-(2/5-1)=3/5

2
cosθ+sin(2θ)=f(θ)とおくと
π/2≦θ≦(3/2)π-2arccos(1/√5)
の範囲では
θ=π/2で f(θ)は最大となり,最大値f(π/2)=cosθ+sin(2θ)=0
θ=(3/2)π-2arccos(1/√5)で最小となり
このときcosθ=-sin(2arccos(1/√5))=-4/5
sinθ=-(2/5-1)=3/5
 sin(2θ)=2cosθsinθ=-24/25
最小値f((3/2)π-2arccos(1/√5))=(3/5)-(24/25)=-9/25
∴-9/25≦cosθ+sin(2θ)≦0

グラフを描いて、それをみながら計算を進めないと
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1
y=2cosθ+sinθ=√5sin(θ+a)
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π/3≦θ+a≦π+a<3π/2の範囲で
|y|≦1を満たすθの範囲は
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このとき
1≧sinθ≧-cos(2arccos(1/√5))=-(2/5-1)=3/5

2
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