三角関数の足し算

三角関数をたくさん足し合わせたときの公式ってないでしょうか？
つまり
sin(w1*t)+sin(w2*t)+sin(w3*t)+sin(w4*t).....の公式です

No.2 ベストアンサー 回答者： proto 回答日時： 2009/11/10 12:42

例えばこんな公式があります

　　Σ[k=1～n]{sin(k*x)} = {cos(x/2)-cos((2n+1)x/2)}/(2*sin(x/2))
　　Σ[k=1～n]{cos(k*x)} = {sin((2n+1)x/2)-sin(x/2)}/(2sin(x/2))

導き方は、
　　S(x) = Σ[k=1～n]{sin(k*x)}
として、両辺にsin(x/2)を掛けて
　　S(x)*sin(x/2) = Σ[k=1～n]{sin(k*x)*sin(x/2)}
積和の公式より右辺は
　　S(x)*sin(x/2) = Σ[k=1～n]{(cos((2k-1)x/2)-cos((2k+1)x/2))/2}
　　　　　　　　　= {cos(2/x)-cos((2n+1)x/2)}/2
両辺をsin(x/2)で割って
　　S(x) = {cos(x/2)-cos((2n+1)x/2)}/(2*sin(x/2))

Σcos(kx)の方も同様に導けます。

この回答へのお礼

お返事どうもありがとうございました。
フーリエ変換のほうは自分も知っていたので、こちらのほうをベストアンサーとさせていただきます。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/12/22 16:35

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/11/10 11:39

各周波数に規則性がなければ公式はないですね。

ぜいぜい、倍角や半角の公式を使って式を変形する位です。

三角関数の無限項の和や差が出てくるのは、周期関数をフーリエ級数展開したとき、

>三角関数をたくさん足し合わせたときの公式ってないでしょうか？

フーリエ級数であらわされる三角関数の和や差の無限項和の式は
フーリエ級数展開の元になった周期関数になります。
なので、フーリエ級数展開一覧表が、公式に当たるかと思います。
sin項だけなら、奇関数の周期関数のフーリエ級数展開が該当します。
cos項だけのフーリエ級数展開式を微分すればsin項だけの式が得られます。
http://people.clarkson.edu/~svoboda/Syllabi/EE22 …
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC% …
http://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html
http://web.mit.edu/6.003/tables/tables.pdf

参考URL：http://www27.atwiki.jp/nina_a/pages/34.html