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y=x^2+2x+4やy=2x^2+4x+5などを…
頂点が分かる形に変形するにはどうすればいいんでしょうか?

参考書には「x^2の前の数字の半分の二乗を足して引く」って書いてあるのでやってみたんですが…
足して引いたら変わらなくないですか?


分かりやすく教えていただけると助かります。

よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

>「x^2の前の数字の半分の二乗を足して引く」



  これは、xの前の数の半分の2乗を足して引く、ですね。

>足して引いたら変わらなくないですか?

  かわらないからいいんです。
  違う式になっては、意味がなくなってしまいます。

y=x^2+2x+4
xの前の数2の半分の2乗を足して引くと
y=x^2+2x+1^2-1^2+4
前3つをかっこにくくり
y=(x^2+2x+1^2)-1+4
かっこの中を因数分解し、後を計算
y=(x+1)^2+3  完成!

x^2の前に数があるときは、最初にその数でくくることが必要に
なります。
y=2x^2+4x+5
前の2つを2でくくると
y=2(x^2+2x)+5
xの前の数2の半分の2乗を、カッコの中で足して引くと
y=2(x^2+2x+1-1)+5
カッコの中の最後のー1をカッコの外に2をかけて出すと
y=2(x^2+2x+1)-2+5
y=2(x+1)^2+3  完成!
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>「x^2の前の数字の半分の二乗を足して引く」


ではなく、
「xの前の数字(xの係数)の半分の二乗を足して引く」だと思います。
ただし、これには注意が必要です。
その説明の前に、疑問にされている点について回答します。

>足して引いたら変わらなくないですか?
同じものを足して引いたら、±0で変わりません。
1を足して、1を引いても値は変わりませんよね。


質問で書かれている式で、注意点を説明します。
・y=x^2+2x+4
xの係数は「2」ですから、その半分「1」の2乗つまりは「1」を足して引きます。
x^2+2x+4
= x^2+2x+1-1+4
= (x+2)^2+3
と (x+○)^2の形を作る(平方完成)ために足したり引いたりをします。

・y=2x^2+4x+5
x^2の係数が1ではないので、注意です。
まず、次のように変形します。
2x^2+4x+5= 2×(x^2+2x)+5
x^2と xから(x+○)^2の形を作るので、定数項の5は括弧の外にしておきます。
続けて
2×(x^2+2x)+5
= 2×(x^2+2x+1-1)+5
= 2×(x^2+2x+1)-2+5
= 2×(x+1)^2+3
と変形します。

平方完成は、x^2と xから作る。
そのために、定数項を足したり引いたりしてあげる。
ということになります。
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