（導体球でない）球の中に一様に電荷が分布しているときの静電エネルギー

お世話になります。

今、球の中身の静電エネルギーを求める問題を解いているのですが、
まず思いつくのはエネルギー密度の積分です。
つまり∫ε[0]/2×E^2dVで計算するかと思います。
そうしますと、たとえば半径aの球で電荷がQの場合、その静電エネルギーは、球外ではおなじみのQ^2/8πε[0]a
となり、球内ではQ^2/40πε[0]aとなり、
足すことで3Q^2/40πε[0]aとエネルギーを求めました。
これで合っているのかは分からないのですが、確かめとしてQφ/2
で計算してみることにしたのです。ただしφは電位です。
球外は簡単で、φ＝Q/4πε[0]aより、Q/2を掛けて同様の答えを
得られるのですが、球内でどうやって求めればよいのか分からないのです。
球内での電位φは、3Q/8πε[0]aーQr^2/8πε[0]a^3
と出て、Qはrの関数でQr^3/a^3ですから、ちょっと困っています。
このやり方で同じ3Q^2/40πε[0]aを得ることができるでしょうか。

教えてください。

No.1 回答者： foobar 回答日時： 2009/11/15 09:22

電位を使って計算しようとすると、以下のような手順になるかと思います。

1. 球内外の電位分布E(r)を計算する。
2. 球内部の微小体積の電荷dQによるエネルギーは(EdQ)/2（でよかったかな)。
3. これを球の体積で積分する。

もう少し厳密にしようとすると、
1. 電荷密度qで一様に帯電しているときの電位分布E(r)を計算する。
2. 電荷密度をdq増加させるためのエネルギーを計算する。
2-1.　外部からrの位置に微小体積dV微小電荷dQを持ってくるときのエネルギーはdVdqE(r)。
2-2 これを体積で積分すると、dq電荷密度を増やすのに必要なエネルギーが計算できる。
3. qを0からq1(=Q/球の体積)まで積分して全体のエネルギーを計算する。
という手順になるかと思います。