歯ブラシ選びの大事なポイントとは?

極限なんですけど・・・。「無限級数ΣAnが収束するならば、lim(n→無限大)An=0  数列{An}が0に収束しなければ、無限級数ΣAnは発散する。」これは、(1+√3)/1+(√2+2)/1+・・・・+{√n+√(n+2)}/1+・・・・ の問題で収束するのか発散するのか調べたい時は、上の「」のやつは使えないんでしょうか? 上の方法でやると答えは「発散」なのに収束になってしまいました。 よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

No.2です。

間違えました。発散ですねw
すみません
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第n項が0に収束することは級数が収束するために


必要条件ではあるが十分条件ではない。

さて問題の級数は(分母と分子が逆としたら)第n項は0
に収束します。(もしそのままなら無限大)

しかしその和は、分母を有理化すると真ん中が消えて
無限大に発散することがわかります。

掲示板における分数の表記は 2/1 は 2÷1です。(1分の2。)
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 直接の回答ではありませんが,数列の極限を解説したページがありましたので御紹介しておきます。



  ◎ 数列とその極限

 「極限」については「数列の極限」にあります。その中の「無限級数」の「最も簡単な収束判定法」や「その他」に極限の判定法がでています。

 ご参考まで。

参考URL:http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/sequence/in …
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>(1+√3)/1+(√2+2)/1+・・・・+{√n+√(n+2)}/1+・・・・ 


これは、どう見ても発散するのですが・・・

たぶん、1/(1+√3)+1/(√2+2)+・・・・+1/{√n+√(n+2)}+・・・・ の間違いではないでしょうか。(あっていたら申し訳ないですがw)

↑ならば、1/{√n+√(n+2)}のnが無限大に近づき、1/{√n+√(n+2)}が0になって、収束します。

どうでしょうか。間違っていたらゴメンナサイ
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問題となっている数列の意味がちょっとわからないのですが。


もしかして分子と分母が逆でしょうか。

それはそれとして、
定理の理解に誤解があるように思います。
定理では
「ΣAnが収束」する ⇒ 「Anが0に収束」する
および
「Anが0に収束」しない ⇒ 「ΣAnが収束」しない
を言っています。
しかし、
「ΣAnが収束」しない ⇒ 「Anが0に収束」しない
および、
「Anが0に収束」する ⇒ 「ΣAnが収束」する
は言ってません。実際に成り立ちません。
反例はいくらでも挙げられます。
たとえば1/1, 1/2, 1/3, 1/4,...,1/n,...は
0に収束するけれど級数は発散します。
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