人気マンガがだれでも無料♪電子コミック読み放題!!

趣味で、久々に高校の時の数学の問題集を解いてみています。
その中で分からない証明があったので、詳しい方教えてください。

[問い] -----------------------------------------------------
自然数m、nに関する条件p、qがある。pはqであるための必要
条件か、十分条件か、必要十分条件か、またはいずれでもないか?

p: m<n  q: m^2 ≦n^2
------------------------------------------------------------

答えは十分条件です。(必要条件はm=nの時が明らかに反例)
その証明が以下のようになっています。

m<nから m-n<0 このとき、
m^2-n^2=(m+n)(m-n)<0 
よって m^2 <n^2
ゆえに m^2 ≦n^2(*)
したがってp⇒qは成り立つ。(十分条件)

分からないのは(*)の部分です。なぜ「ゆえに」と言えるのでしょう。
m<nなので、等号はつかないように思うのですが……。

なんだか、すごく単純な思い違いをしているような気もして冷や汗ものですが……良かったら教えてください。よろしくお願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

a≦b とは 「a<bまたはa=b」のこと


不等号とイコールのどちらかが成り立てばいいのです。

だから

3≦5(3は5以下である)

と言っても間違いではないのです。
あまり適切な例ではなかったでしょうか。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

>あまり適切な例ではなかったでしょうか。

いえ、めちゃくちゃ分かりやすい例を挙げてくださいました! ありがとうございます。
たしかに「≦」って、ある数について「<」「=」同時には成り立たないですね…。

ありがとうございました、疑問が晴れてとっても助かりました(^^)!

お礼日時:2003/05/13 12:43

spolonさん、こんにちは。



ある条件pとqがあって
p→qであるとき、pはqの十分条件、qはpの必要条件といいます。

p: m<n  q: m^2 ≦n^2
この二つの条件があったとき。
p→qはいえるか?を考えて見ます。
m<nだったら、それぞれ2乗しても不等号の向きは一緒なので
m^2<n^2ですね。(m>0、n>0より)
ゆえに
m^2≦n^2
となるのは、<のほうが≦よりも、条件がきついからです。
m^2<n^2のもとでは、絶対にm^2≦n^2は成り立っています。
逆に、m^2≦n^2ならば、m^2=n^2という場合もありうるので
必ずしもm^2<n^2は成り立っていません。
≦のほうが範囲が広いというのは、そういう意味です。
したがって、p→qなので、まずpはqの十分条件であることがいえました。

次に、q→pはいえるか?
m^2≦n^2のときは、先程も書いたように、等号成立の場合も含まれます。
m^2=n^2のときを考えると、m^2-n^2=(m+n)(m-n)=0
m=±nですから、m<nが成り立たないケースも出てきます。
(m=nのとき、m-n=0となってm<nにはならない)
したがって、q→pは、いえません。

だから、pはqの十分条件だけです。
ご参考になればうれしいです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

> <のほうが≦よりも、条件がきついからです。

丁寧に解説を加えてくださってありがとうございます♪
なるほど、そういう理屈だったんですねー。
集合的に「x<y ⊂ x≦y」のようなイメージでしょうか。

あー今分かっておいてよかったです、質問してよかった(^^)
とっても参考になりました。
回答くださってほんとにありがとうございました!

お礼日時:2003/05/13 12:51

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!


人気Q&Aランキング