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y=x^2と直線L:y=xとで囲まれた部分を直線Lのまわりに1回転して出来る立体の体積を求めよ。というもんだいなのですがおしえてください。お願いします。

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A 回答 (2件)

考え方の参考まで



y=x^2 は傾き(±x)の直線の集合だと考えれば
y=(±x)*(±x), ですから傾き角度はθ=tan^-1|x|
y上のx=xで原点からの線分の長さrは、
r=√(x^2+x^4)=x√(1+x^2)
一方、L:y=x の傾きは、φ=π/4=45度 だから
yからLへの垂線の長さHは、
H=rsin(φ-θ)
以上はx軸上での計算だからL軸上をtすると
x=t/√2 だから、(0≦t≦√2)
θ=tan^-1|t/√2|
r=√(t^2/2+t^4/4)=(t/√2)*√(1+t^2/2)
ΔS=πH^2
V=π∫(t^2/2)(1+t^2/2)sin^2(π/4-tan^-1(t/√2))dt
tan-1(t/√2)=θ, t=√2tanθ, 0≦θ≦π/4
dt=√2/(cosθ)^2dθ と置きましょう。
sin^2(π/4-θ)={sin(π/4)cosθ-cos(π/4)sinθ}^2
cos(π/4)=sin(π/4)=1/√2 だから、
=(cosθ-sinθ)^2=(1/2){sin^2θ-2sinθcosθ+cos^2θ}

tan^2θ(1+tan^2θ)sin^2(π/4-θ)(√2/(cosθ)^2)
=(√2/2)tan^2θ(1+tan^2θ){tan^2θ-2tanθ+1}
=(1/√2){tan^6θ-2tan^5θ+2tan^4θ-2tan^3θ+tan^2θ}
ということで整理すると、
V=(π/√2)∫[0~π/4]{tan^6θ-2tan^5θ+2tan^4θ
-2tan^3θ+tan^2θ}dθ

ここで、∫tan^nθdθ の漸近式を利用すると、
∫tan^6θdθ=tan^5θ/5 -tan^3θ/3+ tanθ-θ
2∫tan^4θdθ=2(tan^3θ/3- tanθ+θ)
∫tan^2θdθ=tanθ-θ
2∫tan^5θdθ=2{tan^4θ/4-tan^2θ/2-log(cosθ)}
2∫tan^3θdθ=2{tan^2θ/2+log(cosθ)}
だから、
V=(π/√2)*{tan^5θ/5 -tan^4θ/2+tan^3θ/3}[0~π/4]
=(π/√2)*{1/5 -1/2+1/3}
=(π/√2)*{1/30}=0.074
になるんですね。

eatern27さんの式で検算してみましょう。
π∫[x=0 to 1]{(x-x^2)/√2}^2 {(1+2x)/√2}dx
=(π/2√2)∫(x^2-2x^3+x^4)(1+2x)dx
=(π/2√2)∫(x^2-2x^3+x^4+2x^3-4x^4+2x^5)dx
=(π/2√2)∫(x^2-3x^4+2x^5)dx
=(π/2√2){x^3/3-3x^5/5+2x^6/6}[x=1]
=(π/2√2){1/3-3/5+1/3}=(π/2√2)(10-9)/15
=(π/30√2)=0.074
あってますね。
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原点と点P(1,1)の間でy=x^2上にある点をA、A(x,x^2)からy=xに下ろした垂線の足をH、点B(x,x)、OH=t、AH=hとします。


※y=x^2とy=xと点A,B,Hを図示した方が分かりやすいと思います。

h=|x-x^2|/√2=(x-x^2)/√2 (点と直線の距離)

√2x=OB=OH+HB=OH+AH=t+hなので
t=√2x-h=(x+x^2)/√2
両辺をxで微分して
dt/dx=(1+2x)/√2
∴dt={(1+2x)/√2}dt


V=π∫[t=0 to √2]h^2dt
=π∫[x=0 to 1]{(x+x^2)/√2}^2 {(1+2x)/√2}dx

∫の中がxの5次式なので、後は簡単です。
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