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y=2sinX(1-2cosX)+cosX(4-3cosX)として
t=sinX+2cosXとおくとき、yをtの式で表すことが出来ません。どうすればよいか教えてください。あとyが最大値をとるときのtの値と、このときのcosXの値はどうなるかもおしえてください。よろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

参考程度に


y=2sinx(1-2cosx)+cosx(4-3cosx)として
t=sinx+2cosxとおくとき、yをtの式で表せば、
ちょっとした細工がいりますね。

2sinx-4cosxsinx+4cosx-3cos^2x
=-(4cos^2x+4cosxsinx+sin^2x)+cos^2x+sin^2x+2sinx+4cosx
=1+2(sinx+2cosx)-(4cos^2x+4cosxsinx+sin^2x)
=1+2t-t^2

y=1+2t-t^2
y'=2-2t=0 , t=1 で最大ですか。
という感じですね。
参考に
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y=2sinX-4sinXcosX+4cosX-3cosX^2


=2(sinX+2cosX)-3cosX^2-4sinXcosX…(1)
t=sinX+2cosXより…(2)
t^2=sinX^2+4sinXcosX+4cosX^2
sinX^2+cosX^2=1より代入して
t^2=1+4sinXcosX+3cosX^2
t^2-1=3cosX^2+4sinXcosX…(3)
(2)、(3)を(1)(2)代入
y=2t-t^2+1
=-(t-1)^2+2
t=√5sin(X+θ)
ー√5≦t≦√5より(-1≦sin(X+θ)≦1から)
よってt=1の時最大値y=2
t=1より
t^2=sinX^2+4sinXcosX+4cosX^2=1
1+4sinXcosX+3cosX^2=1
4sinXcosX+3cosX^2=0
3cosX(4/3sinX+1)=0より
  cosX=0または sinX=-3/4…(4)
(4)をt=1の式に代入して
-3/4+2cosX=1
2cosX=7/4
cosX=7/8
こんな感じですかね??自信ないですけど… 
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7行目で(t^2 -1)の符号を間違えてしまいました。

流れはこんな感じでよいと思いますが・・・。符号ミス・・・。お恥ずかしいです。スミマセン。
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こういうときはとりあえずtを2乗してみてください。


t=sinX+2cosX
t^2=sin^2(x)+4sin(x)cos(x)+4cos^2(x)
t^2 -1=4sin(x)cos(x)+3cos^2(x)・・・<1>

y=2sinX(1-2cosX)+cosX(4-3cosX)
=2sin(x)-4sin(x)cos(x)+4cos(x)-3cos^2(x)
=(t^2 -1)+2sin(x)+4cos(x)
こんな感じで<1>が使えます。

ここで
t=sinX+2cosX
より
(t^2 -1)+2sin(x)+4cos(x)
=t^2 -1 + 2t

整理して
y=t^2 +2t -1

yが最大となるのはこの曲線が上に凸であることより
dy/dt=2t+2=0となるときですから、
(この説明で分からない場合は実際に頂点を求め、グラフを描いてみてください)

t=-1

そのとき

-1=sinX+2cosX
0=4sin(x)cos(x)+3cos^2(x)

この連立方程式を解いて

sin(x)=2cos(x)-1
0=4(2cos(x)-1)cos(x)+3cos^2(x)
0=8cos^2(x)-4cos(x)+3cos^2(x)
0=11cos^2(x)-4cos(x)
0=(11cos(x)-4)cos(x)

ゆえに、cos(x)=0, 4/11
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宿題かもしれないのでヒントを書きます。


まずは式を展開してみることです。
展開した式で2sinX+4cosXはtを使って表すことができます。
-4sinXcosX-3(cosX)^2の部分はt^2を使って表すことを
考えます。
t^2=(sinX)^2+4sinXcosX+4(cosX)^2となるので、(sinX)^2+(cosX)^2=1の関係を使えば
-4sinXcosX-3(cosX)^2の部分はtだけで表せるはずです。
ここまでいけばyはtの二次関数で表させるので、最大値をとるときのtの値は出せると思います。
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