3次元の回転角度の求め方について教えてください。

Question

3次元の回転角度の求め方について教えてください。

3軸の加速度センサーがあります。
まず加速度センサーのZ軸を重力方向に置いたときの加速度センサーの値を(x1,y1,z1)=(0,0,1)とします。
加速度センサーのx軸、y軸、z軸をそれぞれ回転させたあとの加速度センサーの値を(x2,y2,z2)とします
（このとき加速度センサーは静止しているので、センサーの値は重力の分力になります）。
(x2,y2,z2)が既知のとき(x1,y1,z1)に戻すためのそれぞれの回転角はどのように求めれば良いのか教えてください。

(x2,y2,z2)→(x1,y1,z1)へ移動するときの回転角を
φ（z軸の回転角）、ψ（x軸の回転角）、θ（y軸の回転角）
とします。
回転行列
(x1) = (cosφ -sinφ 0) (cosθ  0 sinθ) (1 0     0     ) (x2)
(y1) = (sinφ cosφ  0) (0      1 0    ) (0 cosψ -sinψ) (y2)
(z1) = (0     0      1) (-sinθ 0 cosθ) (0 sinψ cosψ ) (z2)
より,3行3列の行列を計算すると
0=cosφcosθx2 + (-sinφcosψ+cosφsinθsinψ)y2+(sinφsinψ+cosφsinθcosψ)z2
0=sinφcosθx2 + (cosφcosψ+sinφsinθsinψ)y2+(-cosφsinψ+sinφsinθcosψ)z2
1=-sinθx2 + cosθsinψy2 + cosθcosψz2

となると思うのですが、この式からφ、ψ、θが導きだせません。
どうすれば求めることができるか教えていただけますか。

nag0720 · Accepted Answer

＞cosφ=(y2z1-y1z2)/√(z1^2+z2^2)について、どういう方程式から導かれたのか教えていただけますか？

２点(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)と直交する点を(x3, y3, z3)とします。（２点の外積）
(x3, y3, z3)=(y2z1-y1z2, z2x1-z1x2, x2y1-x1y2)

このとき次のことが成り立ちます。
x3^2+y3^2+z3^2=1
x1x3+y1y3+z1z3=0
x2x3+y2y3+z2z3=0

最初のz軸での回転は、点(x3, y3, z3)がxz平面に移動するように回転させます。（y座標=0になる）
次のy軸での回転は、その点が(1, 0, 0)に移動するように回転させます。
最後のx軸での回転は、(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)はyz平面に移動しているので、(x1, y1, z1)が(0, 0, 1)に移動するように回転させます。

最初の回転角度は、点(x3, y3)のy座標を0にするので、
cosφ=x3/√(x3^2+y3^2)
sinφ=-y3/√(x3^2+y3^2)

x3^2+y3^2
=(y2z1-y1z2)^2+(z2x1-z1x2)^2
=y2^2*z1^2-2y1y2z1z2+y1^2*z2^2+z2^2*x1^2-2z1z2x1x2+z1^2*x2^2
=(x1^2+y1^2)z2^2+(x2^2+y2^2)z1^2-2(x1x2+y1y2)z1z2
=(1-z1^2)z2^2+(1-z2^2)z1^2-2(-z1z2)z1z2
=z1^2+z2^2
なので、
cosφ=(y2z1-y1z2)/√(z1^2+z2^2)
sinφ=(x2z1-x1z2)/√(z1^2+z2^2)

ψ,θも同じようにして求められます。

nag0720 · Answer

回転角度を計算してみました。

＃３で方向と書きましたが、方向の代わりに、
直交する２点を(0,0,1)と(0,1,0)に移動する回転角度を求めてみます。
（直交＝中心から２点を臨む角度が９０°）
ある点から別の点の方を向くと考えれば方向と同じ意味です。

２点を(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)とします。
２点の条件は、
x1^2+y1^2+z1^2=1　（長さが１）
x2^2+y2^2+z2^2=1　（長さが１）
x1x2+y1y2+z1z2=0　（直交条件）

z軸での回転角φを、
cosφ=(y2z1-y1z2)/√(z1^2+z2^2)
sinφ=(x2z1-x1z2)/√(z1^2+z2^2)

y軸での回転角ψを、
cosψ=√(z1^2+z2^2)
sinψ=x1y2-x2y1

x軸での回転角θを、
cosθ=z1/√(z1^2+z2^2)
sinθ=-z2/√(z1^2+z2^2)

ただし、z1=z2=0のときは、
cosφ=1
sinφ=0
cosψ=0
sinψ=x1y2-x2y1
cosθ=x1
sinθ=y1


この角度で、z→y→xの順に回転すれば、
(x1, y1, z1)→(0, 0, 1)
(x2, y2, z2)→(0, 1, 0)
となります。


実際に計算してみましょう。
(x1, y1, z1)=(1/√3, 1/√3, 1/√3)
(x2, y2, z2)=(1/√2, 0, -1/√2)
すると、

cosφ=1/√5
sinφ=2/√5
cosψ=√5/√6
sinψ=-1/√6
cosθ=√2/√5
sinθ=√3/√5

回転行列にすると、（行列を横に並べて書きます）
Ez=((1/√5, -2/√5, 0), (2/√5, 1/√5, 0), (0, 0, 1))
Ey=((√5/√6, 0, 1/√6), (0, 1, 0), (-1/√6, 0, √5/√6))
Ex=((1, 0, 0), (0, √3/√5, -√2/√5), (0, √2/√5, √3/√5))

ExEyEz(1/√3, 1/√3, 1/√3)=(0, 0, 1)
ExEyEz(1/√2, 0, -1/√2)=(0, 1, 0)
となるはずです。

nag0720 · Answer

＃２です。

書き忘れていたことが１点。

もし、点の位置だけでなく、その方向も考慮するとしたら、φ、ψ、θは一意に定まるかもしれません。
方向というのは、位置をベクトルP=(x2,y2,z2)としたら、Pと直交する単位ベクトルです。
例えば、球面を地球としたら、地上から見てどの方向（東西南北）を向いているかということです。

nag0720 · Answer

点(x2,y2,z2)を点(x1,y1,z1)に、z→y→xの順に回転させるときは、
(x1,y1,z1)=MxMyMz(x2,y2,z2)
のように表記します。（Mx,My,Mzは回転行列）

#1さんが書いているように、回転を３回にした場合は、回転の仕方は無数にあります。
たとえば、点(x2,y2,z2)を点(0,0,1)に移動させる場合、
(1) z軸で回転してy座標を0にし、次にy軸で回転してx座標を0にする。
(2) z軸で回転してx座標を0にし、次にx軸で回転してy座標を0にする。
(3) y軸で回転してx座標を0にし、次にx軸で回転してy座標を0にする。
これらは２回の回転だけですが、みな同じ位置に移動します。
これ以外にも、最初のz軸で適当に回転しても、y軸、x軸の回転で(0,0,1)に移動させることができます。

別の言い方をすれば、z軸の回転角φを適当に決めれば、y軸の回転角ψ,x軸の回転角θは一意に決まると言えます。

Tacosan · Answer

ちょっと考えただけなのですが, 「3つを一意に決めることはできない」ような気がします.
例えば, P = (0, 0, 1) から Q = (1/√3, 1/√3, 1/√3）にするときには
・x軸まわり→y軸まわり
・y軸まわり→z軸まわり
のどちらでも可能なはずです.
なお, 今の定式化では「(x2, y2, z2) から (x1, y1, z1) = (0, 0, 1) を得る」ために「x軸まわり→y軸まわり→z軸まわり」の順で回転させていることになりますが, z軸まわりで回転させても z座標は変化しないので最後の回転は無意味だと思います. ということで, 「x軸まわりに回転させて y座標を 0 にしてから y軸まわりに回転させて z座標を 1 にする」と勝手に x座標は 0 になるはずです.

3次元の回転角度の求め方について教えてください。

＞cosφ=(y2z1-y1z2)/√(z1^2+z2^2)について、どういう方程式から導かれたのか教えていただけますか？

回転角度を計算してみました。

＃２です。

点(x2,y2,z2)を点(x1,y1,z1)に、z→y→xの順に回転させるときは、

ちょっと考えただけなのですが, 「3つを一意に決めることはできない」ような気がします.

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