ε－δの解答添削

camember6さんの質問で
|x-a|<δなら|√x-√a|<ε　を満たすδを１つ求めよ。
をcamember6さんと異なり次のように考えました。添削をお願いします。
　|√x-√a|<ε　より、-ε+√a<√x<ε+√a　・・＊
(1)√a>=εのとき、＊を２乗して、まとめると
　ε^2-2√aε<x-a<ε^2+2√aε　これより ε^2-2√aεとε^2+2√aε　の大小等を比較すると　|x-a|< -ε^2+2√aε よって、
　δ＝-ε^2+2√aε
(2)√a<εのとき、＊より、-a=<x-a<ε^2+2√aε,-aとε^2+2√aεの大小を比較して、|x-a|<a , よってδ=a

No.1 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2009/11/27 18:45

δの求め方は分かりましたが、問題は、δをそのように決めたときに、

|x-a|<δなら|√x-√a|<ε
が成り立つかどうかです。
それが証明されていないと、解答としては不十分です。

|x-a|<δなら|√x-√a|<ε
が成り立つことを示してくれませんか。

この回答への補足

(1)√a>=εのとき、δ＝-ε^2+2√aε とすると、
　ε^2-2√aε<x-a<-ε^2+2√aε　　
ε^2-2√aε+a<x<-ε^2+2√aε+a　
√a-ε<√x<√(<-ε^2+2√aε+a)<√a+ε
よって　　　-ε<√x-√a<ε
　　　　　|√x-√a|<ε
(2)も同様。
解答として、camember6さんと異なるが、これもよいのかどうか、よろしくお願いします。

補足日時：2009/11/30 10:18