歯ブラシ選びの大事なポイントとは?

予備校の授業でふと疑問に思ったのですが、
なにが分からないのかよく自分でも理解できないんです。
多分こういう疑問だと思うのですが、お願いします。
ちなみに「大学への数学」を見たところ、「存在と同値」
とか言うタイトルで説明されていましたが今ひとつ
ピンと来ません、よろしくお願いします。
A=C・・・・1
B=C・・・・2
このA=Bを示すやり方としては二通りありますが、
まず解法1として
1式を2式に代入して直接A=Bを導くやり方<代入法>
つぎに解法2として
1式から2式を引いてCを消去しA-B=0として
やり方<加減法>
この二つの違いについて具体的に述べられる人がいたら
教えて欲しい、お願いします。

A 回答 (3件)

高校数学では



=記号は何を意味するか。代入とは何か。減算とは何か。

といった問題が「説明しないけど何となく分かるよね」で済まされているんですね。

で,それを突き詰めて考えていくとwajyuさんのような疑問にぶつかるんじゃないかと思います。

多分きちんと説明しようとすると話題が多岐に渡るし,そもそも私の手には余る話だと思うので,お尋ねの代入法と加減法の違いについて私見を述べるに留めます。

-----

wajyuさんは多分「A,B,Cは数」「“=”は“数が等しい”という意味」というつもりで書いたと思うのですが,試しに他の意味を与えてみましょう。

たとえば,

A,B,Cは集合。
“=”は,「すべての要素が一致する」という意味。

だとします。この場合も

A=C かつ B=C ならば A=B

が言えます。

しかし,数の場合との決定的な違いは加減法が使えないことです。集合間には減算が定義されていないからです。

ここから代入法と加減法の違いの一つが分かります。
「代入法は減算が定義されていない場合でも使えるが,加減法は使えない」

代数学の体系は,まず空間(例えば複素数の集合)を定義し,その空間の要素に対して,“=”の意味であるとか,加減乗除等の演算であるとかを定義し,その定義にもとづいてどのような定理が成り立つかを調べる形で構築されます。

方程式を解く際に何気なく使っている代入とか移項とかの操作も,実はそのような根本的な定義と公理の体系に基礎付けられており,wajyuさんの疑問はそれらにつながるから難しい問題なのだと思います。
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この回答へのお礼

丁寧なご回答ありがとうございます、ヤマブキさんは
「集合間には減算が定義されていない」
と言われていますが、参考書などを見ると
このような記述があります
「集合Aの要素の個数をn(A)と表す。とき
次の関係が成り立つ。
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)」
このなかでは集合間で減算を使用しているのですが
これはどう考えたらよいのでしょうか?

お礼日時:2003/05/16 20:19

こんにちは 2のyamabukiです。



> n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

この式でAは集合ですが、n(A)は整数です。
「n(A)+n(B)-n(A∩B)」は、三つの整数
n(A),n(B),n(A∩B)
の間で加減算を使っているものです。

ちょっと紛らわしいですが、わかります?
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この回答へのお礼

なるほど、n(A)はAに含まれる
整数と言うことですね。
なかなか複雑な問題のようなので
このくらいでは全部はとてもつかみ切れませんが
ヤマブキさんのおかげでなんとなくではありますが
概形が理解できたような気がします。
ありがとうございました。

お礼日時:2003/05/17 21:33

違いはなくて、本質的には同じことをしていると思います。



A=C・・・・1
B=C・・・・2
とします。

<代入法>(これはむしろ、<直接法>という感じ)
2式により、「BとCは同じ」だから、1式におけるCをBと入れ替えることができる。
よって、
A=B(右辺のBは、右辺にあったCをBと入れ替えたもの)

<加減法>
1式の両辺からBを引くと、
A-B=C-B・・・・3
2式により、「BとCは同じ」だから、3式におけるCをBと入れ替えることができる。(この部分は、<代入法>と同じであることに注意)
よって、
A-B=B-B
つまり、
A-B=0
ゆえに、
A=B
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Q連立方程式 加減法について

連立方程式 加減法について
ぼくは、今2年生でこの前、数学で連立方程式を習ったところです。
そこで僕は疑問に思いました。
代入法は、意味がわかるけれど、加減法は、なぜ2式を加減して解を求めることができるのでしょうか?
やり方はわかるけれど、なぜその方法でできるのだろうと思いました。
わかる人は教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

中2の連立方程式ということで,与えられた二つの式の変数xとyの次数は1(だろう)として,与えられた式を
ax+by=cとdx+ey=fとする
ax+by=cのcを左辺に移行して
式1 ax+by-c=0
同様にdx+ey+=fのfを左辺に移行して
式2 dx+ey-f=0
式1と式2のどちらの式も満たす(x,y)の組(求める解)がひとつ存在するとすると式1=式2=0ですから
ax+by-c=dx+ey-f=0 となり
式1-式2は
ax+by-c-dx-ey-(-f)=0
上の式をxとyについて整理すると
(a-d)x+(b-e)y-(c-f)=0
それでb-e=0のとき(a-d)x+0-(c-f)=0なので
(0には何をかけても0。yの値は関係なし)
(a-d)x=c-f
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ax+by=cのcを左辺に移行して
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同様にdx+ey+=fのfを左辺に移行して
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式1と式2のどちらの式も満たす(x,y)の組(求める解)がひとつ存在するとすると式1=式2=0ですから
ax+by-c=dx+ey-f=0 となり
式1-式2は
ax+by-c-dx-ey-(-f)=0
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Q2乗しても同値性が崩れないときと崩れるとき

2乗しても同値性が崩れないときともう一つの解が割り込んできて同値性が崩れるときはそれぞれどのような場合なのでしょうか。よく方程式の両辺を2乗してルートをはずしたり、代入しやすくしたりすると思うのですが、問題をやっていて「ここで2乗してもいいのかな?」といつも迷ってしまいます。このようにならないためにはどのようなことに気をつければよいのでしょうか。

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Aベストアンサー

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等式を加減するとき
4.式の一部を他の文字で置き換えるとき

s-wordさんの謎もこれで解決したはず。2乗(平方)したら、同値関係は崩れると思ったほうが良い。代入(加減)も同じ。(もちろん、崩れない場合もある)解決法は、平方の場合は、最初の条件にもどって検討する。代入(加減)の場合は、代入した式に戻って検討する。

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Q連立方程式を代入法で解くか、同値変形で解くか

二つの連立方程式
2x-y-1=0
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上の式は
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私には同値変形と代入法の違いが分かりませんでしたし、
また同値変形したときに、"3x-3=0かつx+y-2=0"のように2式を足したもの(または引いたもの)かつ元の式いずれかになるのかも分かりません。
どなたか説明して頂ければ幸いです。

Aベストアンサー

こんばんは。

「同値変形」という言葉は初めて聞きましたが、
しかし、わかりましたよ。

「同値」というのは、論理で出てくる「同値」と同じことです。
記号で言えば、「≡」や「⇔」のことです。

つまり、
2x-y-1=0
x+y-2=0
という連立一次方程式は、
2つの式の加減法で求めた3x-3=0を2x-y-1=0の代わりに用いて
3x-3=0
x+y-2=0
と書いても同値であるし、
2番目の式をxについて解いたx=-y+2を用いて
2x-y-1=0
x=-y+2
と書いても同値です。

つまり、加減法も代入法も、同値変形の一種です。

元々2本の式しかありませんから、加減法や代入法で出てきた式を使って3本以上の式を「作成」しても、そのうち独立なものは2本しかありません。
たとえば、
2x-y-1=0
x+y-2=0
3x-3=0
という3本の式のうち、1本は使わなくても解けてしまいます。
(つまり、1本捨てた残りの2本が、元の方程式と「同値」です。

また、
たとえば、2番目の式と、それを2倍にしたものだけで
x+y-2=0
2x+2y-4=0
という連立方程式を「作成」しても、答えは出ません。

まとめると、
同値変形とは、
「互いに独立なn本の一次方程式からなるn元連立一次方程式を、
 そのn本の式のどれかを使って、
 ほかの、互いに独立なn本の方程式からなる連立方程式に
 変形すること。」


ただし、
「余分な式」であっても、方程式を解く計算途中で用いることは、いっこうに構いません。

こんばんは。

「同値変形」という言葉は初めて聞きましたが、
しかし、わかりましたよ。

「同値」というのは、論理で出てくる「同値」と同じことです。
記号で言えば、「≡」や「⇔」のことです。

つまり、
2x-y-1=0
x+y-2=0
という連立一次方程式は、
2つの式の加減法で求めた3x-3=0を2x-y-1=0の代わりに用いて
3x-3=0
x+y-2=0
と書いても同値であるし、
2番目の式をxについて解いたx=-y+2を用いて
2x-y-1=0
x=-y+2
と書いても同値です。

つまり、加減法も代入法も、同値変形の一種で...続きを読む

Q東大の理1と理2の違いは?

僕は次から高1になるのですが、大学は東大の理系を考えています。
理3が医学部だということは分かっている(し、行く気はない)のですが、
理1と理2の違いがあまりはっきりしません。
学部進学の際、どのように振り分けられるのですか?
できれば具体的な人数なんかのデータがあればいいのですが・・・。

Aベストアンサー

>工学が1、農学が2、理学部ではそんな変わんないって感じでしょうか。

理学部はひとくくりにできませんよ。
物理学科、数学科などは理1優勢ですし、化学科だと同じくらい、生物学科なら少し理2優勢といった感じです。
#2で示した集計表のとおりです。
細かいこと言い出すと、工学、農学も学科によって色合いがかなり異なりますよ。

大まかなことを言えば、#2の文中に示した進学振り分けについての資料にありますが、
理科一類 工学部・理学部・薬学部・農学部
理科二類 農学部・理学部・薬学部・医学部・工学部
↑は、それなりに人数比率も反映した順番になっていて、理1なら工・理が大部分を占めるし、理2なら農・理・薬が大部分を占めます。

ここまでいろいろ書きましたが、どちらかというと、momomoredさんには#2の集計表とにらめっこしてほしくありません。
むしろ、大学側からの「進学のためのガイダンス」(http://www.u-tokyo.ac.jp/stu03/guidance/H16_html/index.html)や、#2の進学振り分けの資料の中の各学部の紹介とか、あるいは、各学部のホームページ(学部ごとにホームページをもっています)を見て、できれば研究室のホームページまでチェックして、具体的に何がやりたいか、そしてそれをやるためには東京大学のあの研究室で学びたいんだ、ということをしっかりと意識することのほうが大切だと思います(それがなかなかできないわけですが…ハイ)。

あくまで#2の集計表とかは参考までにね。#2で書いたように、入ってから行きたくても行けない学部・学科なんてものはほとんどないですから(文転もありですよ)。
目標高く勉強のほうがんばってください。

>工学が1、農学が2、理学部ではそんな変わんないって感じでしょうか。

理学部はひとくくりにできませんよ。
物理学科、数学科などは理1優勢ですし、化学科だと同じくらい、生物学科なら少し理2優勢といった感じです。
#2で示した集計表のとおりです。
細かいこと言い出すと、工学、農学も学科によって色合いがかなり異なりますよ。

大まかなことを言えば、#2の文中に示した進学振り分けについての資料にありますが、
理科一類 工学部・理学部・薬学部・農学部
理科二類 農学部・理学部・薬学部・...続きを読む

Q軌跡と存在するための条件について

疑問に思ってしまったので、どうかよろしくお願いします。

問題)2直線mx-y+4m+21=0、x+my+3m-14=0の交点の軌跡を求めよ。

答え)点(X,Y)が求める軌跡上の点であるための条件は、
mX-Y+4m+21=0 かつ X+mY+3m-14=0
を満たす実数mが存在することである。上式をmについて整理すると、
(X+4)m-Y+21=0------(1) かつ X-14+(Y+3)m=0------(2)
となるから、その条件は、

その1) X+4≠0のとき、(1)によって定まる定数m=(Y-21)/(X+4)が(2)を満たすこと、
すなわち、X-14+(Y+3)・(Y-21)/(X+4)=0
∴(X-5)^2+(Y-9)^2=15^2----(3)(ただし、X≠-4より(-4,-3),(-4,21)は除く)

その2)X+4=0のとき(1)を満たす実数mが存在するための条件は、(X,Y=(-4,21)

以上により、求める軌跡は、円(x-5)^2+(y-9)^2=15^2、ただし、点(-4,-3)は除く


疑問点)(1)かつ(2)の条件を求めるときに、「mが存在するためのX,Yの条件を求めるのに、mを消去して得られる」との事なのですが、いまいちこの技術が見えません・・・どうしてmを消去することにより、mが存在するためのX,Yの条件が求まるのでしょうか。

良く、参考書には「文字定数を消去することにより出来た方程式で、その軌跡を得ることになる」とありその通りに使っていたのですがどういう事が起きているのか良く分からないのです・・・

高校数学のレベルなら、その通り覚えて使っていくほうが良いのでしょうか?

疑問に思ってしまったので、どうかよろしくお願いします。

問題)2直線mx-y+4m+21=0、x+my+3m-14=0の交点の軌跡を求めよ。

答え)点(X,Y)が求める軌跡上の点であるための条件は、
mX-Y+4m+21=0 かつ X+mY+3m-14=0
を満たす実数mが存在することである。上式をmについて整理すると、
(X+4)m-Y+21=0------(1) かつ X-14+(Y+3)m=0------(2)
となるから、その条件は、

その1) X+4≠0のとき、(1)によって定まる定数m=(Y-21)/(X+4)が(2)を満たすこと、
すなわち、X-14+(Y+3)・(Y-21)/(X+4)=0
∴(X-5)^...続きを読む

Aベストアンサー

専門ではありませんが,回答が出ないようなので。

与えられた2式は,mの値が連続的に変わるにつれて表す直線が変わり
そのために交点が動いていくわけですね。ですから,mを消去する
ことでmの値にかかわらない(X,Y)の関係すなわち軌跡が求まる
わけです。これは,ちょうど媒介変数表示で媒介変数を消去して
直接的な関係を求める操作と似ています。たとえば,
 x=r cosθ
 y=r sinθ
において媒介変数θを消去して,x^2 + y^2 = r^2 を得るという
ようなことです。

一方,mを消去する過程でx+4≠0(またはy+3≠0)を前提しなければ
ならないので,じゃあx=-4(またはy=-3)のときはどうなるのか?
を検討しなければならないというわけです。すると円周上の点(-4,-3)
はいかなるmをとっても(1)かつ(2)を満たさず,どんな場合の交点
にもなりえないことがわかるのです。

高校数学のレベルだからこそ,納得をすることが大切でマニュアルに
流れてしまうと本物の力になりません。がんばってください。

専門ではありませんが,回答が出ないようなので。

与えられた2式は,mの値が連続的に変わるにつれて表す直線が変わり
そのために交点が動いていくわけですね。ですから,mを消去する
ことでmの値にかかわらない(X,Y)の関係すなわち軌跡が求まる
わけです。これは,ちょうど媒介変数表示で媒介変数を消去して
直接的な関係を求める操作と似ています。たとえば,
 x=r cosθ
 y=r sinθ
において媒介変数θを消去して,x^2 + y^2 = r^2 を得るという
ようなことです。

一方,mを消去する過程でx+4...続きを読む

Q大学受験数学、本質の理解か、解法パターンの暗記か?

皆さん宜しくお願い申し上げ致します!
教科書程度の学習が終わった段階の次のステップについてお尋ね致したいと思います。
今、旺文社から出ている、長岡氏の、旧本質の研究、総合的研究数学が、話題に成って居ります。数学の本質が理解出来れば、どんな入試数学にも、対応出来ると謳って居ります。総合的研究数学は確かに分厚い。しかし、精選された数少ない問題から、沢山の数学的本質が学べる構成と成って居り、最後の章末問題は殆ど全て東大からの問題構成と成って居ります。
一方、和田氏の唱える、解法パターン暗記の数学勉強方法も、古くから良く知られて居ります。
和田氏は、青チャートを勧めて居りますが、ネット上では、青チャートは挫折率が高く、もう一段下の、基本問題に的を絞った、黄色チャートの全ての問題の解法パターン暗記が良い、と謳って居ります。黄色チャート終了後は、1対1対応の数学の解法パターンの暗記に進みなさい。と、有ります。
果たして、数学の本質の理解か、数学の解法パターンの暗記なのか、どちらが正しいのでしょうか?
進学希望学部は医学部なので、大学に入れば、本格的に数学をする必要は有りません。
果たして、どちらが正しい大学受験数学勉強方法なのでしょうか?
是非是非宜しくお願い申し上げ致したいと思います!

皆さん宜しくお願い申し上げ致します!
教科書程度の学習が終わった段階の次のステップについてお尋ね致したいと思います。
今、旺文社から出ている、長岡氏の、旧本質の研究、総合的研究数学が、話題に成って居ります。数学の本質が理解出来れば、どんな入試数学にも、対応出来ると謳って居ります。総合的研究数学は確かに分厚い。しかし、精選された数少ない問題から、沢山の数学的本質が学べる構成と成って居り、最後の章末問題は殆ど全て東大からの問題構成と成って居ります。
一方、和田氏の唱える、解法パタ...続きを読む

Aベストアンサー

NO1さんに同意します。

公立進学校では、学校の夏休み演習をやるだけで
センター数学は満点取る子はたくさんいます。
一方、予備校には優秀な教師、優秀な教材を利用しつつ8割、9割しか取れない子は溢れています。この差は何でしょうか。


そういう状況を念頭に、2択にするのはおかしいと思います。
早い話、受かればいいのだからどういう手法でやるかは自由だと思います。
また和田さんの本はかなり偏りがあるので、割り切れないところはあると思います。
20年前はそういう話、勉強法の話は都市部の予備校や進学校の暗黙知でしたから
多くの人にとって新鮮でした。けれど今は映像もあり、色んなハイレベルな授業や勉強法が溢れています。推薦なども多くなりました。
そう考えると和田さんの手法は時代とマッチしていないと違和感を感じることも多いですね。
早い話が中学受験の手法をそのまま取り入れているわけで、
1つは偏差値主義で東大京大早慶の一般受験生を何より念頭に置いています。
それ以外の推薦や地方国立などの多くの受験生は考えられていません。
また大量の問題を解くことが前提です。
ですからイチイチ理解を軸にすると彼の求める分量はとてもこなせないんですよ。
「理解の大切さ」を教え込まれている生徒はアレルギーを起こすのは必至です。
しかしこの辺も「やってみないと分からない」ところで評論家よろしく他山で何をしてても、どっちにしろさほど理解には至らないわけです。

けれど時間は有限ですから、評論家やってると勉強時間がどんどんなくなる。
だからまずやる、続ける姿勢が大事です。
また理解を求めるのは大変です。
和田さんは偏りがありますが、ともかく解いていこうと言うことは受験ではたいへん有効と思います。
先に挙げた人たちも2次対策のことをああだこうだ言いますが基礎のセンターで8割台なんてことの方が圧倒的に多い。
そこがこのレベルならどっちにしろ勝負にならないだろう、と。

長岡 亮介さんの本はネット書評を見ているとほぼ話題に上がっていません。
内容もチャート式などの旧来な数学書に近いようです。
マニアックな本なんだろうなと推測されます。
好きな人が買えばいいよ、と言う気がしますね。
大学への数学とかもそうですが、数学好きが単に数学をやると言うのがこの手の本で、
進学校で数学が得意なんかって子がおススメです。
単に受験数学を必要としている子には???な本だと思いますよ。

NO1さんに同意します。

公立進学校では、学校の夏休み演習をやるだけで
センター数学は満点取る子はたくさんいます。
一方、予備校には優秀な教師、優秀な教材を利用しつつ8割、9割しか取れない子は溢れています。この差は何でしょうか。


そういう状況を念頭に、2択にするのはおかしいと思います。
早い話、受かればいいのだからどういう手法でやるかは自由だと思います。
また和田さんの本はかなり偏りがあるので、割り切れないところはあると思います。
20年前はそういう話、勉強法の話は都市部の予備校...続きを読む


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