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数学でわからない問題があって。
おねがいします。

1から13までの自然数の積、すなわち{1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13}の値を6でわり商を求めて、さらに、その商を6でわり、新たな商を求めて、このように、1から13までの自然数の積を6でわることを繰り返すときに、はじめてあまりが0でなくなるのは、6でわった回数が何回目のとき?


おねがいします

A 回答 (8件)

1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13



1×2×3×(2×2)×5×(2×3)×7×(2×2×2)×(3×3)×(2×5)×11×(2×2×3)×13
と同じですね。
2は10個
3は5個
ありますね。
という事は2×3=6なので、3が5回で無くなってしまいます。
よって5回までは6で割り切れるという事です。
よって次の6回目は割り切れません。

答え 6回目

お解りいただけましたでしょうか。
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No.2のymmasayanです。

補足にお答えします。

>>この式の中に隠れている2の個数と3の個数を数えてみてください。
>>その少ない方の個数の回数までは6で割れますよね。

>できれば具体的におしえてくれませんか?
>答えは、6回目です。

2が隠れているのは、2に1個、4に2個、6に1個、8に3個,10に1個、
12に2個で合計10個です。
3が隠れているのは、3に1個、6に1個,9に2個,12に1個で合計5個です。
2と3で6が作れますから作れる6は5個ということに成ります。
したがって6で割れる回数は5回。
6回目には余りが出ます。
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#3(#4)です。


たびたび済みません。
#4は無視してください。答えが6回目と聞き、数え間違ったと勘違いしました。
#3の回答で
>よって3+2=5回 が答えですね。
ここ以外はあってます。3+2=5回で、すぐに答えに結論付けたのが間違いでした。
#3の回答で、上記の行を下記に置き換えさせください。
-------------------------------------------------
よって3+2=5回、つまり6で5回割って割り切れることになります。
問題は「はじめてあまりが0でなくなるのは」なので、答えはこれに1を加えて 5+1=6回目 となります。
-------------------------------------------------

ちなみに、#1さんは
>×2×3
>×6
>×12
>で 4回は 割れます。
これが、3回であること。(12=6×2 で2回と勘違いされたものと思われます。)
さらに、
>次は
>×4
>×9
>で 36なので 6回分
の部分で、36=6×6 で6回分と勘違いされたのだと思いますが、実際は6を2回掛けているわけですから2回分であることの、2箇所が誤りです。

よって3回と2回で5回となり、次の6回目が答えという訳です。
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あ 勘違いでした。



#1の回答を修正します。

4×9は 36 で これは 2回分でしたね。

だから 6回です。
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#3です。


慌てて数え間違いました。

>まず、2×3、6、12=6×2 で3つあります。
3つじゃなく4つですね。
なので、
>よって3+2=5回 が答えですね。
これも 4+2=6回 です。
また、
>与式=2^10×3^5×5^2×7×11×13
>  =(2×3)^5 ×2^5×5^2×7×11×13
これも、
与式=2^10×3^6×5^2×7×11×13
  =(2×3)^6 ×2^4×5^2×7×11×13
でした。申し訳ありません。
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素因数分解って分かりますか?


例えば
6=2×3
8=2×2×2(=2^3 :2の3乗)
12=2×2×3(=2^2×3)
という具合に、素数の積の形に表すことです。

問題の場合、
「1から13までの自然数の積、すなわち{1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13}」
を素因数分解して、その中に6=2×3がいくつあるかを調べればよいわけです。
もっとも、いちいち素因数分解しなくても6=2×3がいくつあるかは分かりますが。

1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13
まず、2×3、6、12=6×2 で3つあります。
残りを考えると
1×4×5×7×8×9×10×11×13
ここで、9=3×3で3が2つあり、2を約数とする偶数は2つ以上ありますので 2×3はあと2つあることが分かります。
よって3+2=5回 が答えですね。

ちなみに、ちゃんと素因数分解すると
与式=2^10×3^5×5^2×7×11×13
  =(2×3)^5 ×2^5×5^2×7×11×13
となります。

この回答への補足

おしえてくれてありがとうございます。
参考書によると6回目と書いてあります。

補足日時:2003/05/15 17:43
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ヒントです。


この式の中に隠れている2の個数と3の個数を数えてみてください。その少ない方の個数の回数までは6で割れますよね。

この回答への補足

すいません。
知識がなくて、できれば具体的におしえてくれませんか?
答えは、6回目です。

補足日時:2003/05/15 17:41
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単純に考えて


×2×3
×6
×12
で 4回は 割れます。

次は
×4
×9
で 36なので 6回分

以上 4回と6回で 10回。
11回目に あまりが 0で なくなるでしょう。

この回答への補足

教えてくれてありがとうございます。
答えは、6回目の時と書いてありますが。。。。

補足日時:2003/05/15 17:39
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