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微分公式にの導きかた(定義)についておしえてください。
できれば、くわしく教えてほしいです。

(1)
(e^x)'=e^x

(2)
(logx)'=1/x (x>0)

(3)
(log|x|)'=1/x

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A 回答 (3件)

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tati353さん、こんばんは。


まず、(2)から導きます。

>(2)
(logx)'=1/x (x>0)

定義に従って、微分していきます。
{log(x+h)-logx}/hを、まず考えてみましょう。
{log(x+h)-logx}/h=1/h{log(x+h)-logx}
         =1/hlog(x+h)/x
         =1/hlog{1+(h/x)}
ここで、h/x=kとおくと、h→0のとき、k→0ですね。

1/hlog{1+(h/x)}=1/kxlog(1+k)=1/xlog(1+k)^1/k
ここで、h→0,k→0のとき、(1+k)^1/k→e

ゆえに、
(logx)'=lim{log(x+h)-logx}/h
    h→0
    =1/xloge=1/x・・・(証明終わり)

>(1)
(e^x)'=e^x

指数関数と対数関数は、互いに逆関数の関係にあるから、
逆関数の微分方法
dy/dx=1/(dx/dy)
を用いればいいでしょう。

y=e^xとおくと、y>0で、x=logyです。
xは単調増加で、微分可能であって、両辺yで微分すれば、
dx/dy=1/y>0
ゆえに、xの逆関数yも微分可能で、
dy/dx=1/(1/y)=y=e^x

したがって(e^x)'=e^x・・・(証明終わり)

>(3)
(log|x|)'=1/x

これは、場合わけすればいいと思います。
まずは、x>0のときは、(2)と同じですから
(log|x|)'=1/xが成り立ちます。

x<0のときを考えてみましょう。
(log|x|)'={log(-x)}'=1/(-x)*(-x)'=1/x
となるので、

(log|x|)'=1/x・・・(証明終わり)

となります。一度やってみてくださいね。
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 教科書に載っているような気がしますが・・・。

下記サイトにも出ている様ですので,御覧になってみて下さい。

  ◎ 微分積分いい気分

 「微分 2」の「指数函数, 対数函数の微分」です。

参考URL:http://phaos.hp.infoseek.co.jp/contents.htm
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