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質量500kgの船と質量50kgの人が様々な直線上の運動での飛び移りをした。人が飛び移った直後の船の速度を求めよ。ただし、右向きを正とする。

(1)静止した船の上から桟橋へ人が4.0m/sで飛び移る

(2)0.50m/sで桟橋に近づく船上から水面に対して4.0mで人が桟橋の方へ飛び移る

(3)0,50m/sで桟橋へ近づく船上へ桟橋から人が5.0m/sで飛び移る

船の速度をⅴとして式を立てようと思ったのですが、分かりません。きっと運動量保存の法則を利用するのだと思います。非常に簡単な事を質問しているかと思いますが、どなたか解説して下さい。お願いします。

A 回答 (3件)

(m+M)V=mv+MV



(1)
(m+M)×0=mv+MV
mv=-MV
50×4.0=-500×V
V=-0.4m/s
左に0.4m/s

(2)
(50+500)×0.5=50×4.0+500×V
V=計算してね

(3)
0.5×500-5.0×50=(50+500)×V
V=

間違っていたらごめんなさい
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この回答へのお礼

回答、有難うございました。おかげで解く事ができました。
>間違っていたらごめんなさい
私も同じ考え方でした!!と言う事は、合っているのかな?

お礼日時:2003/05/18 21:39

教科書 ならびに 例題を


よく読みなおしてください。
 運動量保存則 
そのものについての
質問なので
回答のしようがありません
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この回答へのお礼

教科書をもう一度読み直してみました。原点は教科書ですものね・・・。ご指摘、有難うございました。

お礼日時:2003/05/18 21:42

そのとおり。

運動量保存則を使います。

運動量保存  mv+MV=mv'+MV'
    [変化前の運動量の和]=[変化後の運動量の和]

だから船との質量=M、人の質量=mと置いて
(1)m・0+M・0=m・4+MV   ∴V=4m/M =0.40[m/s]
(2)m・0.50+M・0.50=m・4.0+MV  ∴V=0.51[m/s]
(3)m・0.50+M・0.50=m・5.0+MV  ∴V=0.11[m/s]

これでよろしいですか?
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この回答へのお礼

やっぱり運動量保存の法則を使うのですね。回答、有難うございました。

お礼日時:2003/05/18 21:40

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Q角運動量保存則が分かりません

質量m長さlの均質な剛体棒が、端Aを中心として回転できるように、端Aで支持
されている。質量mの球が水平方向から速度vで棒の端Bに衝突した。
衝突直後球と棒は一体となり角速度wで運動を始め、鉛直方向からθの位置まで振れた。
衝突前の球の速度vはいくらか。

Iθ"=lF-mglsinθ/2
ml^2θ"=-lF-lmgsinθ

から両辺を足し、
Iθ"+ml^2θ"=-lmgsinθ-mglsinθ/2
両辺にθ’をかけて
(I+ml^2)θ'^2/2-3/2mglcosθ=一定
という式がでませんか??

そこで(I+ml^2)w'^2/2-3/2mgl=-3/2mglcosθ
となりませんか??
でもそのあとvとはどのように求めるのでしょうか??
角運動量保存則を使うのでしょうけれども、
使い方とそこで使える理由が分からないのです。

Aベストアンサー

>(I+ml^2)θ'^2/2-3/2mglcosθ=一定
>という式がでませんか??

でます。
>そこで(I+ml^2)w'^2/2-3/2mgl=-3/2mglcosθ
>となりませんか??
wに'がついているのが誤植であるのなら、確かにそうなります。θ=60°とすれば(そんな条件があるのか知りませんがw)、模範解答の

>(I+ml^2)w'^2/2=mgl(1-cos60)+ mgl/2(1-cos60)・・・・3
の式になります。


さて、問題は、
>衝突前の球の速度vはいくらか。
です。従って、衝突直前と直後の関係を考えなければなりません。

運動方程式を立てるのは困難(衝突時に働く力が分からないから)なので、何らかの保存量を考えた方がいいでしょう。

まず、衝突時に働いている力を書き出してみると、
(重力の向きをx軸、衝突前の小球の運動方向をy軸、それに垂直な向きにz軸をとります)

小球:重力(y軸方向)、衝突時に剛体棒から受ける力(x軸方向)
剛体棒:重力(y軸方向)、衝突時に小球から受ける力(x軸方向)、端点Aでの拘束力(剛体棒に平行な方向)

のようになります。

さて、保存量として代表的なのは、エネルギー、運動量、角運動量ですので、これらが保存されるかどうかを考えます。

エネルギーが保存されるのは、保存力を受ける場合(非保存力を受けない場合)ですが、衝突時に受ける力が保存力ではないので、衝突の前後でエネルギーは保存しません。
(ちなみに、衝突後に働く力は、重力と拘束力です。重力は保存力で、拘束力は仕事をしないのでエネルギーが保存されます)

系の運動量が保存されるのは、その方向の外力がゼロの場合です。
ここでいう外力とは、重力と剛体棒の拘束力で、x軸方向もy軸方向もゼロではありませんので、x,y軸方向の運動量は保存しません。
(z軸方向はゼロなので、運動量が保存されますが、これは明らかなので考えません)

系の角運動量が保存されるのは、その方向の外力によるトルクがゼロの場合です。
剛体棒の拘束力によるA周りのトルクはゼロです。(拘束力は剛体棒と平行だから)
重力の拘束力によるA周りのトルクは衝突が瞬時に行われるとすれば、無視できます。

結局、A周りの角運動量が保存される事になります。z軸方向の角運動量の保存から
>mVl=(I+ml^2)w・・・・2
が得られます。(x軸,y軸方向の角運動量はゼロなので考えません)

>(I+ml^2)θ'^2/2-3/2mglcosθ=一定
>という式がでませんか??

でます。
>そこで(I+ml^2)w'^2/2-3/2mgl=-3/2mglcosθ
>となりませんか??
wに'がついているのが誤植であるのなら、確かにそうなります。θ=60°とすれば(そんな条件があるのか知りませんがw)、模範解答の

>(I+ml^2)w'^2/2=mgl(1-cos60)+ mgl/2(1-cos60)・・・・3
の式になります。


さて、問題は、
>衝突前の球の速度vはいくらか。
です。従って、衝突直前と直後の関係を考えなければなりません。

運動方程...続きを読む

Qポテンシャルエネルギーから力を求めるのになぜ偏微分

こんにちは、力学を勉強しております。重力やばねの力が保存力である、ということを学ぶ際に、ポテンシャルエネルギーUを習いました。そして、このポテンシャルエネルギーを位置で微分して力を求める、という次の式が登場しました (~はベクトル表示のための矢印とお考え下さい)。

~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

ここで、なぜ偏微分なのでしょうか。

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)

というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

たとえばバネの ポテンシャルエネルギーはU = (1/2)k x^2なので
これを上式(1)のように微分すれば、F = -kxとなります。重力にしても同様に求まります。
ただ、(2)式を使っても、ばねの力も重力も求まってしまいます。

偏微分を使っているからには、その理由があると思うのですが、私の持っているどの教科書にもその説明がなく、突如として偏微分が示されているだけでして悩んでおります。

どうぞ宜しくお願いします。

こんにちは、力学を勉強しております。重力やばねの力が保存力である、ということを学ぶ際に、ポテンシャルエネルギーUを習いました。そして、このポテンシャルエネルギーを位置で微分して力を求める、という次の式が登場しました (~はベクトル表示のための矢印とお考え下さい)。

~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

ここで、なぜ偏微分なのでしょうか。

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)

というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

たと...続きを読む

Aベストアンサー

まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか?
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (*)

ここまでよろしいでしょうか?

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとると

U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) = U(x,y,z) + (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

ここで

ΔU = U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) - U(x,y,z)

と定義すれば

ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

が成り立ちます。つまり、1次までの微小変化であれば、

y,zを止めてxだけ変えたときの変化分、
x,zを止めてyだけ変えたときの変化分、
x,yを止めてzだけ変えたときの変化分、

の合計が全体の変化分に等しいという関係が成り立ちます。
これが全微分ではなく編微分を使う理由です。


この式は

grad U = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z )
Δr = (Δx, Δy, Δz)

というベクトルを導入すれば内積を使って

ΔU = grad U ・ Δr

と書くことができます。

この関数U(x,y,z)を位置エネルギーだとすると、ΔUは微小変位Δr = (Δx, Δy, Δz)に対する位置エネルギーの変化分となりますから、上の(*)の式に等しく

ΔU = grad U ・ Δr=ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz
   =- F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz )

この二つの式を見比べれば

F = - grad U

成分表記では

Fx = -∂U/∂x
Fy = -∂U/∂y
Fz = -∂U/∂z

となります。

>というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

3次元の調和振動子を考えて見ます。その位置エネルギーは

U(x,y,z) = (1/2)k (x^2 + y^2 + z^2)

これを通常の微分をとるとすると、物体は3次元空間の中をある軌道で運動していますから、xの変化と同時にyもzも変化します。つまり、yとzはxの関数と考えられるので

dU/dx = d/dx [ (1/2)k (x^2 + y(x)^2 + z(x) ^2) ]
= k x + k y(x) dy/dx + k z(x) dz/dx

となり、x方向の力kxを導きません。

まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか?
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (*)

ここまでよろしいでしょうか?

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとる...続きを読む


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