順列と場合の数について

nPr=n!/(n-r)!　　という公式がありますが、
n!=n・(n-1)!　　　はなぜ成り立つのでしょうか？

また、次の問題の答えの導き方を教えてください。

次の等式を証明せよ。

１　nPr=(n-r+1)nPr-1
２　nPr=n-1+r×n-1Pr-1

(－１はｒについているモノです。）

No.1 ベストアンサー 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2003/05/17 04:04

＞n!=n・(n-1)!

　
両辺は共にｎから１までの積
ｎ×(n-1)×(n-2)・・・３×２×１
です．

後は，定義どおり式で書いてみて比較してはどうでしょう．

No.3 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2003/05/17 04:58

＞nPr=n-1+r×(n-1Pr-1 )

これでもやはり問題がおかしいはずです．
左辺はnを因数に含みますが，右辺はそういう形ではありません．

nＰr＝(n-1)Ｐr　＋　r×(n-1)Ｐ(r-1)
ならばよくある話ですが．
（右辺の分母を通分して(n-r)!にして整理）

No.2 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2003/05/17 04:16

＃１です．

＞ｎ×(n-1)×(n-2)・・・３×２×１
これは
ｎ×(n-1)×(n-2)×・・・×３×２×１
と書くべきでした．訂正いたします．

１．(右辺)＝(n-r+1)・n!／{n-(r-1)}! ＝(n-r+1)・n!／(n-r＋1)!＝(n-r+1)・n!／{(n-r＋1)・(n-r)!}＝n!／(n-r)!＝(左辺)

２．これは問題は正しいでしょうか？

この回答への補足

nPr=n-1+r×(n-1Pr-1 )

と言うことです。rは（）にかかります。

補足日時：2003/05/17 04:21