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nPr=(n-1)Pr + r×(n-1)P(r-1)

と言う問題でした。この問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします!

A 回答 (3件)

akatukinoshoujyoさん、こんにちは。



>nPr=(n-1)Pr + r×(n-1)P(r-1)

nPr=n!/(n-r)!
ということを使いましょう。

左辺=nPr=n!/(n-r)!
右辺=(n-1)Pr + r*(n-1)P(r-1)
  =(n-1)!/(n-1-r)! +r*(n-1)!/(n-1-r+1)!
  =(n-1)!/(n-1-r)! +r*(n-1)!/(n-r)!
  ={(n-r)*(n-1)!}/{(n-r)*(n-1-r)!} +r(n-1)!/(n-r)!
  ={(n-r)*(n-1)!}/(n-r)! + r*(n-1)!/(n-r)!
  ={(n-1)!(n-r+r)}/(n-r)!
  =n!/(n-r)!=左辺

となって、等しいことが証明できます。
頑張ってくださいね!!
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 おそらく既にある回答で良いと思いますが,こんな考え方もあります。



 nPr とは,n 個から r 個選んで並べる時にできる場合の数ですね。この時,ある a というものが r 個に含まれる場合と,含まれない場合に分けて考えます。

 ある数 a が r 個に含まれない場合の場合の数は,残りの (n-1) 個から r 個選んで並べることになりますから,場合の数は (n-1)Pr です。

 ある数 a が r 個に含まれる場合,まず a 以外の (n-1) 個から (r-1) 個を選んで並べます。場合の数は (n-1)P(r-1) です。この (r-1) 個が並んでいる所に,a を入れるわけですが,a が入る場所は (r-1) 個の間の (r-2) 通りに両端の場合を足した r 通りあります。(n-1)P(r-1) 通りの各場合に対して r 通りですから,全部で r×(n-1)P(r-1) の場合がある事になります。

 こう考えると,n 個から r 個を選んで並べる場合の数は,上の2つの場合の合計で,(n-1)Pr + r×(n-1)P(r-1) となります。

 つまり,nPr = (n-1)Pr + r×(n-1)P(r-1) です。

 ご参考まで。
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まずは階乗の式に直してそこから目的の式n!/(n-r)!に近づけていく感じでやるとうまく良くと思いマス。



(n-1)Pr + r×(n-1)P(r-1)
=(n-1)!/(n-1-r)!  +  r(n-1)!/(n-1-r+1)!
=(n-1)!/(n-r-1)!  +  r(n-1)!/(n-r)!
=(n-r)(n-1)!/(n-r)(n-r-1)!  +  r(n-1)!/(n-r)!   ←左の項に分母分子に(n-r)をかけた
=(n-r)(n-1)!/(n-r)!  +  r(n-1)!/(n-r)!  ←分母共通
={(n-r)(n-1)!+r(n-1)!}/(n-r)!
=(n-r+r)(n-1)!/(n-r)!
=n(n-1)!/(n-r)!
=n!/(n-r)!
=nPr
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