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次の等式を証明せよ。
|1+x^2   x    0   ...   0  |
|  x   1+x^2  x         :  |
|  0     x              0  |
|  0              x     0  |
|  :            1+x^2   x  |
|  0   ...    0   x   1+x^2|
(ただし、nは行列式の次数)
※見辛いと思いますが、対角線上は1+x^2で、その周りがxで囲まれています。
=1+x^2+x^4+...+x^(2n)

…となっているんですが、本の答えは「帰納法を用いる」だけしか書いてありません。
帰納法のやり方は分かっているつもりですが、どういう式にしてから帰納法を用いればいいのか分かりません。
まずは自分でやってみたのですが:
第n行を第n-1行に足す
第n-1行を第n-2行に足す
    :
第3行を第2行に足す
第2行を第1行に足す
| 1+x^2     x       0  ...   0  |
|1+x+x^2 1+x+x^2 1+x+x^2     :  |
|   0    1+x+x^2             0  |
|   0            1+x+x^2     0  |
|   :            1+x+x^2 1+x+x^2|
|   0   ...    0 1+x+x^2 1+x+x^2|
…これであわよくばどこかの1+x+x^2を消して上三角行列に出来ると思ってたのですが、
消すと他の行にまた-(1+x+x^2)が入ってしまいます。
どのような考え方で解けばいいのでしょうか?

A 回答 (3件)

#1さんへのお礼欄のn=3の場合のサラス展開は、


|1+x^2 x 0|
|x 1+x^2 x|
|0 x 1+x^2|
=(1+x^2)(1+x^2)(1+x^2)-x^2(1+x^2)-x^2(1+x^2)
=(1+x^2){(1+x^2)(1+x^2)-x^2-x^2}
=(1+x^2)(1+x^4)
=1+x^2+x^4+x^6


>それに沿って計算すると、
>k=n-1:
>1+x^2(n-1)
>=1+x^(2n-2)
>=1+ {x^(2n)}/(x^2)
>=1+x^2(n-1)
>ですか?

なにを計算したいのか分かりません。(最初と最後が同じですよ)


T(n)をT(n-1)とT(n-2)の式で表すとは、

与式を1行目で余因子展開すると、
(1+x^2)*
|1+x^2   x    0   ...   0  |
|  x   1+x^2  x         :  |
|  0     x              0  |
|  0              x     0  |
|  :            1+x^2   x  |
|  0   ...    0   x   1+x^2|
-x*
|  x    x     0         0  |
|  0  1+x^2   x         :  |
|  0    x               0  |
|  0              x     0  |
|  :            1+x^2   x  |
|  0   ...    0   x   1+x^2|

第1項の行列式は、T(n-1)と同じです。
第2項の行列式をさらに第1列目で余因子展開すると、T(n-2)が現われてきます。
T(n)=(1+x^2)*T(n-1)-x^2*T(n-2)
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この回答へのお礼

>=(1+x^2){(1+x^2)(1+x^2)-x^2-x^2}

ああ、括り出すんですね。納得です。

>なにを計算したいのか分かりません。(最初と最後が同じですよ)

ですね(恥)。

>T(n)=(1+x^2)*T(n-1)-x^2*T(n-2)

そういう意味でしたか。
予想すらつきませんでした。
もっと勉強してきます。
ありがとうございました!

お礼日時:2009/12/06 23:44

帰納法を用いるのだから、行列式を直接計算する必要はありません。



n次の行列式をT(n)とすれば、T(n)をT(n-1)とT(n-2)の式で表すことができます。

この回答への補足

追記です。
上の方が間違っていたようです。
=1+{x^(2n)}/(x^2)
=1+x^2(n-1)
ですよね?

補足日時:2009/12/06 19:50
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
今、読みました。
それに沿って計算すると、
k=n-1:
1+x^2(n-1)
=1+x^(2n-2)
=1+ {x^(2n)}/(x^2)
=1+x^n
ですか?

あ、さっきの計算間違ってそうです。
k=n+1:
1+x^2(n+1)
=1+x^(2n+2)
=1+{x^(2n)}*(x^2)
=1+x^(2n+1)
…でいいですか?
これも間違えているかもしれません…。

お礼日時:2009/12/06 19:35

帰納法なんだから、当然 n-1 次の場合に帰着させることを考えるべきでしょう。


定石として、n = 1, n = 2, n = 3 の場合を順に求めてみましょう。

この回答への補足

了解しました。今、忙しいので、しばらくお待ちください。

補足日時:2009/12/05 23:03
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この回答へのお礼

お待たせしました。
n=1:
|1+x^2|
=1+x^2(1)
=1+x^2

n=2:
|1+x^2 x|
|x 1+x^2|
=(1+x^2)^2 - x^2
=1+x^2+x^4

n=3:
サラスの公式では
|1+x^2 x 0|
|x 1+x^2 x|
|0 x 1+x^2|
=(1+x^2+x^2)(1+x^2)
-x^2(1+x^2)-x^2(1+x^2)
=1+2x^2+2x^4+x^6
-2x^2-2x^4
=1+x^6 ←!?

余因子展開では
|1+x^2 x 0|
|x 1+x^2 x|
|0 x 1+x^2|

=(1+x^2)(-1)^(1+1)
|1+x^2 x|
|x 1+x^2|
+ x(-1)^(2+1)
|x 0|
|x 1+x^2|

=(1+x^2){(1+x^2)^2 - x^2}
- x{x(1+x^2) - 0}
=1+x^2+x^4+x^6

k=n+1:
1+x^2(n+1)
=1+x^(2n+2)
=1+x^(2n)+x^2
=1+x^2+x^(2n)
…これでいいですか?

あと、追加の質問ですみませんが、サラスの公式での結果が何故か合いません。
どこで間違えてしまっているんでしょうか?

お礼日時:2009/12/06 19:24

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どうしてもわからないので最後の答えだけ(途中計算は答えのページに載ってないので。)を参照にしてやってみたのですが。
|a b c|
|a2 b2 c2|
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abc|0 0 0 |
|a-b b-c c-a |
|a2-b2,b2-c2,c2-a2|



=abc(a-b)(b-c)(c-a)|0 0 0 |
|1 1 1 |
|a+b b+c c+a |


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|{(a b c),(a^2 b^2 c^2),(a^3 b^3 c^3)}|
=abc*|{(1 1 1),(a b c),(a^2 b^2 c^2)}|
=abc*|{(1 0 0),(a b-a c-a),(a^2 b^2-a^2 c^2-a^2)}|
=abc*|{(b-a c-a),(b^2-a^2 c^2-a^2)}|
=abc(b-a)(c-a)*|{(1 1),(b+a c+a)}|
=abc(b-a)(c-a)*{(c+a)-(b+a)}

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(a+b)^n=Σ[k=0,n]C[n,k]a^k*b^(n-k) (C[n,k]はnCkのこと・・・掲示板では見にくいので)
の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g (D^(k)はk階微分のこと)---(*1)
というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです.この公式を使えば推測して帰納法で証明しなくても一気に結果を求めることができます.

とはいうものの,実際この公式を適用するためには(*1)の右辺を見ればわかるように,個々の関数fとgについての1~n階微分までの情報はあらかじめ知っている必要があります.
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D^(n-2)(sin(x))=cos(x-nπ/2+π/2)=-sin(x-nπ/2)
・・・
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Q行列の消去法のコツなど教えてください。

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たとえば

3  1 -7  0
4 -1 -1  5
1 -1  2  2

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習った方法は、
(1)一つの行に0でない数をかける。
(2)一つの行にある数をかけたものを他の行に加える。
(3)二つの行を交換する。

1  0  0  3
0  1  0  5
0  0  1  2
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→うまく変形するコツ。
”うまく”はないですけど、初心者向けの解法のコツみたいなものとして、参考までに。
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(2)「n列の他の行の数」を、(1)で作った1に-(「n列の他の行の数」)をかけてたして0にする。
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y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

となります。
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ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
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= y' / y

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