No.3ベストアンサー
- 回答日時:
n^(1/(2n)) は n→∞ で 1 に収束します. だから上極限と下極限も一致してその値は 1.
というか, 「収束半径を求める」ことが問題であるならどんな方法を取ってもいいわけで, あえてコーシーにこだわる必要もないのではないかと.
#1 でも書いたけど, |z| > 1 で発散することは見た目で明らかです. だから |z| < 1 のときにどうなるかを考えればいいんだけど,
Σ[0,∞] |nz^(n^2)| = Σ[0,∞] |n|×|z^(n^2)| ≦ Σ[0,∞] |√n|×|z^n|
が明らかで, 後者の級数は収束半径が 1 です (ダランベールの収束判定でもやってください). 従って元の級数も |z| < 1 で絶対収束します.
この回答へのお礼
お礼日時:2009/12/07 23:45
>n^(1/(2n)) は n→∞ で 1 に収束します. だから上極限と下極限も一致
この方法もありましたね…,拘りすぎてました;;;
ニ度もアドバイスありがとうございました!
No.2
- 回答日時:
>コーシーの収束判定法で求めるため,
>まず一般項anを出そうと思い
コーシーの収束判定法を使うことにこだわるのであれば、m が 0 および平方数のとき
a_m = √m
とおき、それ以外のとき
a_m = 0
とおけば、
Σ[0, ∞] n * z^(n^2) = Σ[0, ∞] (a_m) * z^m
と変形できるので、あとは簡単な計算で答えが求まります。
この回答へのお礼
お礼日時:2009/12/06 15:48
アドバイスありがとうございます。
limsup[n→∞]{n^(1/2n)}
になりますね。
(ここからの計算も詰まっていますが…;)
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