次の偏微分方程式を解きます。
∂/∂x{e^ax・e^by・∂T(x,y)/∂x}+∂/∂y{e^ax・e^by・∂T(x,y)/∂y}=0
変数分離T(x,y)=X(x)・Y(y)を導入すると
{∂^2X(x)/∂x^2+a∂X(x)/∂x}/X(x)+{∂^2Y(y)/∂y^2+b∂Y(y)/∂y}/Y(y)=0
このような式が得られました。第一項と第二項をそれぞれ次のような定数とおきます
{∂^2X(x)/∂x^2+a∂X(x)/∂x}/X(x)=-{∂^2Y(y)/∂y^2+b∂Y(y)/∂y}/Y(y)=-k^2(負),0,k^2(正)―(1)
(1)式の右辺が-k^2の場合について考えます。X(x)について次の式が成り立ちます。
∂^2X(x)/∂x^2+a∂X(x)/∂x+k^2・X=0 ―(2)
これは定数係数微分方程式なので判別式D=a^2-4k^2によって解が異なる。
ここで質問なんですが(2)式の解X(x)をどのように表したらいいのでしょうか?場合わけを一つの式で表現する方法がよくわからないんです。
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