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√1-x2(ルート1マイナスxの二乗)の微分の仕方を教えてください。

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A 回答 (7件)

No.1、4の者です。



>>>教科書って数IIICですか?
>>>もしそうなら私文系だったんで、ないんですよm(__)m

そうでしたか。
ちなみに、私が高校生の頃は、微分は数IIIからだったと思います。
(年がバレますが)

>>>大学でやってるんですけど、教科書には分かりにくく書いてあって…

はい。私は理系ですけど、同感です。
大学の先生や教科書は「かっこつけた説明」しかしてくれない場合が多いので、困りますよね。

ちなみに、x=sint や x=cost と置いてみるのも面白いですよ。(符号がちょっとややこしくなりますが)


なお、No.5様のご指摘は全くそのとおりだと思います。

√x の形の微分だけ考えてみましょうか。
途中で、(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 が登場します。

(√(x+h) - √x)/h
 = (√(x+h) - √x)(√(x+h) + √x)/{h(√(x+h) + √x)}
 = ((x+h) - x)/{h(√(x+h) + √x)}
 = h/{h(√(x+h) + √x)}
 = 1/(√(x+h) + √x)

よって、
(x^(1/2))’ = (√x)’ = lim[h→0] (√(x+h) - √x)/h
 = lim[h→0] 1/(√(x+h) + √x)
 = 1/(√x + √x)
 = 1/(2・√x)
 = 1/2・x^(-1/2)

というわけで、
(x^(1/2))’ = 1/2・x^(-1/2)
となりますので、1/2乗の微分を整数乗と同じようにやってよいことがわかりました。
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    • 0
この回答へのお礼

とても詳しく教えていただき、本当にありがとうございます!

数ⅡBで微分は習いましたが、ルートの微分はせずに、簡単なものしかやりませんでしたm(__)m

大学の教科書はある意味いじめですよね(笑)

もしまた分からない問題が出てきたら、質問させてもらいますので、そのときはよろしくお願いします!

お礼日時:2009/12/19 23:00

いけね。

「分子の有理化」でした。
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    • 0

合成関数の微分を使うにしても、


n が自然数でないときにも
(d/dx) x~n = n x~(n-1) が成り立つ
ことには、説明が要るかもしれません。

{√(1-(x+h)~2) - √(1-x~2)}/h の
分母を有理化してから、
h→0 の極限を考えてみましょう。
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    • 1
この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2009/12/19 22:06

すみません。

最後、頭にマイナスを付け忘れました。
正しくは、-2x/√(1-x^2) です。
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    • 2

ルートは2分の1乗と書く事ができます。


なので
f=(1-x^2)^(1/2)の微分をすればいいわけです
1-x^2をAと置くと、合成関数の微分法を用いて
f(A(x))のx微分=fのA微分×Aのx微分
fのA微分=(A^1/2)'=(1/2)×A^(-1/2)
Aのx微分=(1-x^2)'=-2x
これをかけあわせて
f'(x)=-2x×(1/2)×A^(-1/2)
=-x×A^(-1/2)
マイナス乗は分数で、1/2はルートなので戻すと
=-x/√A
Aを元に戻して、微分の結果は
=-x/√(1-x^2)
となります。
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    • 2
この回答へのお礼

ありがとうございます(^O^)/

お礼日時:2009/12/19 22:05

0です(^_-)


変数がないと微分は常にゼロになります。
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    • 0
この回答へのお礼

申し訳ありませんが、答えは0ではないです(T_T)

お礼日時:2009/12/19 22:03

こんにちは。



平方根は、1/2乗であること、
そして、「合成関数の微分」(教科書に書いています)
を知ることで解決できます。

1-x^2 = t と置きます。

すると、
dt/dx = -2x
ですよね?

そして、与式をyと置けば、
y = √t = t^(1/2) なので、
dy/dt = 1/2・t^(-1/2)
 = 1/(2・√(1-x^2))

よって、
dy/dx = dy/dt・dt/dx
 = 1/(2・√(1-x^2))・(-2x)
 = 2x/√(1-x^2)

ご参考になりましたら幸いです。

この回答への補足

丁寧にありがとうございます。

教科書って数ⅢCですか?
もしそうなら私文系だったんで、ないんですよm(__)m
大学でやってるんですけど、教科書には分かりにくく書いてあって…

補足日時:2009/12/19 22:01
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1)
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よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

Q指数の付いた式の微分

ある参考書によると

u(x)=16*x^1/3

をxで微分すると

u'(x)=16/3*x^(-2/3)

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よく分かりません。

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ようなものがあったような気がしますが、
手元に本がありません。

微分についてお詳しい方ご教示願います。

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f(x)=x^a
を微分したとき、
f'(x)=ax^(a-1)
となります。

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Qy=x^(1/x) の 微分

y=x^(1/x) の微分を教えてください。
簡単な問題なのにすいません。

Aベストアンサー

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

となります。
なので{ (1/x)log|x| }'の計算をすればy'が求まります。
積の微分で解いてください。

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log...続きを読む

QベクトルAとBに垂直なベクトルCを求めるには?

ベクトルAとBがあり、その両方に垂直なベクトルを求めたいのですが、
どうすれば良いのでしょうか?
内積を計算した結果で0になるものが直行しているというのはわかるのですが・・・

Aベストアンサー

rei00 です。先程の回答違ってますね。alfeim さんがお書きの様に A, B の外積が求めるものですね。

で,あえて内積で頑張るなら次の様になると思います。A, B を三次元ベクトル A (a1, a2, a3), B (b1, b2, b3) とし,求めるベクトルを X (x, y, z) とすると。

垂直=内積0より
 a1・x + a2・y + a3・z = 0
 b1・x + b2・y + b3・z = 0

これを解いて
 x = z・(b3・a2 - a3・b2)/(a1・b2 - b1・a2)
 y = z・(b3・a1 - a3・b1)/(a2・b1 - b2・a1)

今,求めるベクトルの大きさが決まっていませんので,x, y, z の比を使って,求めるベクトルは (a2・b3 - b2・a3, a3・b1 - b3・a1, a1・b2 - b1・a2) となります。

つまり A, B の外積になります。なお,3次元上の次元でも同様に出来ると思います(たぶん・・・)。